La ricerca ha trovato 15 risultati
- 05 mag 2019, 13:37
- Forum: Olimpiadi della matematica
- Argomento: BMO 2019
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Re: BMO 2019
Day 5 Sabato mattina ITA5 e ITA6 decidono di terminare il loro sonno, precedentemente tormentato dagli altri ITAn, allora ancora assopiti, per consumare la colazione in preparazione all'imminente competizione. Nel tragitto, viene più evocato il nome del fratello di ITA4, probabilmente diventato legg...
- 07 dic 2018, 16:49
- Forum: Geometria
- Argomento: Distanze in un poligono regolare
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Re: Distanze in un poligono regolare
Il claim è giusto e la via che hai proposto porta a buoni risultati. Forse questo problema sembra richiedere l'utilizzo dell'analisi (che infatti aiuta) e non molto quello della "geometria", per questo non mi era sembrato molto adatto, ma è possibile evitarla (quasi) del tutto grazie ad al...
- 02 ott 2018, 22:21
- Forum: Geometria
- Argomento: Distanze in un poligono regolare
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Distanze in un poligono regolare
Consideriamo un poligono regolare di $n \ge 3$ lati e chiamiamo i sui vertici $V_1, V_2, \dots , V_n$. Per ogni punto $P$ del piano, definiamo $f(P) = \prod\limits_{i=1}^{n} |P-V_i|$ cioè il prodotto di tutte le distanze dal punto ai vertici del poligono. Trovare tutti i punti $P$ interni (compreso ...
- 27 feb 2018, 18:01
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: Le differenze quadrano
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Re: Le differenze quadrano
Consideriamo l'espressione iniziale $3x^2+x=4y^2+y$ e risolviamola come equazione in $x$: $x=\frac{1}{6}(\sqrt{48y^2+12y+1}-1)$ Affinchè $x$ sia intero, il termine sotto la radice deve essere un quadrato, quindi $k^2=48y^2+12y+1$ Risolviamo quest'espressione come equazione in $y$ $y=\frac{1}{24}(\s...
- 27 feb 2018, 10:56
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: Triangoletto
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Re: Triangoletto
Problema bonus (own):
Un triangolo ha per lati tre interi primi fra loro. L'area è i 2/5 del prodotto tra i due lati maggiori. Dimostrare che esistono infiniti triangoli a due a due non congruenti di questo tipo.
Un triangolo ha per lati tre interi primi fra loro. L'area è i 2/5 del prodotto tra i due lati maggiori. Dimostrare che esistono infiniti triangoli a due a due non congruenti di questo tipo.
- 12 nov 2017, 19:32
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: Successione multipla degli indici
- Risposte: 4
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Re: Successione multipla degli indici
Caso $n=1$: $a_1$ è intero, quindi $1$ è un suo divisore. Altrimenti scomponiamo $n$ in fattori primi: $n=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \dots p_k^{e_k}$ ; poniamo $m=2^{p_1^{e_1-1} p_2^{e_2-1} \dots p_k^{e_k-1}}$ Attraverso la formula di inversione di Mobius troviamo che $a_n = \sum\limits_{d \mid n} \mu \le...
- 05 lug 2017, 21:11
- Forum: Olimpiadi della matematica
- Argomento: Senior 2017
- Risposte: 182
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- 22 giu 2017, 13:34
- Forum: Glossario e teoria di base
- Argomento: Somme simmetriche e Schur
- Risposte: 8
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Re: Somme simmetriche e Schur
Io ho trovato questo, spiega sia la disuguaglianza di Schur che quella di Muirhead, oltre alla notazione $[3,1,0]$
(nelle prime righe distingui bene le $a$ dalle $\alpha$)
http://www.imomath.com/index.php?options=596&lmm=0
(nelle prime righe distingui bene le $a$ dalle $\alpha$)
http://www.imomath.com/index.php?options=596&lmm=0
- 21 giu 2017, 18:44
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: Quadrati razionali
- Risposte: 4
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Re: Quadrati razionali
Credo che siamo tutti d'accordo sul fatto che $\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$ è il quadrato perfetto di un numero razionale ($a$,$b$,$c$ distinti). Riguardo questa parte $\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c...
- 21 giu 2017, 00:09
- Forum: Algebra
- Argomento: Tsintsifas
- Risposte: 4
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Re: Tsintsifas
Iniziamo con qualche manipolazione del $LHS$: $\dfrac{p}{q+r}a^2+\dfrac{q}{r+p}b^2+\dfrac{r}{p+q}c^2 =$ $\dfrac{(p+q+r)-(q+r)}{q+r}a^2+\dfrac{(p+q+r)-(r+p)}{r+p}b^2+\dfrac{(p+q+r)-(p+q)}{p+q}c^2=$ $(p+q+r)\Bigg(\dfrac{a^2}{q+r}+\dfrac{b^2}{r+p}+\dfrac{c^2}{p+q}\Bigg)-(a^2+b^2+c^2)$ Ora applicando i...
- 20 giu 2017, 23:17
- Forum: Teoria dei Numeri
- Argomento: Quadrati razionali
- Risposte: 4
- Visite : 3346
Re: Quadrati razionali
Con un po' di conti si dimostra che, per $a \neq b$, $b \neq c$ e $c \neq a$, $\dfrac{1}{(a−b)^2}+\dfrac{1}{(b-c)^2}+\dfrac{1}{(c-a)^2}=\Bigg(\dfrac{1}{(a−b)}+\dfrac{1}{(b-c)}+\dfrac{1}{(c-a)}\Bigg)^2$ Dato che somme, prodotti e rapporti di numeri razionali sono numeri razionali, il $RHS$ sarà semp...
- 20 giu 2017, 15:32
- Forum: Geometria
- Argomento: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
- Risposte: 5
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Re: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
Rilancio (semplice):
Sia $J$ l'intersezione tra $DE$ e $BP$, $K$ l'intersezione tra $DF$ e $CP$.
Dimostrare che $PJ=PK$.
Sia $J$ l'intersezione tra $DE$ e $BP$, $K$ l'intersezione tra $DF$ e $CP$.
Dimostrare che $PJ=PK$.
- 20 giu 2017, 15:20
- Forum: Geometria
- Argomento: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
- Risposte: 5
- Visite : 3639
Re: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
Usiamo la notazione $a=BC$, $b=CA$ e $c=AB$, $S=[ABC]=$ area del triangolo $\triangle ABC$. Costruiamo l'asse di $a$ : esso passerà per il punto medio di $a$, che chiameremo $M_A$, per $A_1$, dato che $a$ è una corda di una circonferenza di centro $A_1$, e intersecherà il lato $b$ in un punto $N$. ...
- 19 giu 2017, 13:43
- Forum: Algebra
- Argomento: Disuguaglianza Schurosa 4
- Risposte: 4
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Re: Disuguaglianza Schurosa 4
Sviluppando tutto, moltiplicando entrambi i membri per $6(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2$ e raccogliendo i termini in somme simmetriche, abbiamo: $3[6:0:0]+12[5:1:0]+6[4:2:0]+12[4:1:1]+72[3:2:1]+23[2:2:2] \geq$ $12[4:2:0]+12[4:1:1]+12[3:3:0]+72[3:2:1]+20[2:2:2]$ Semplificando il tutto otteniamo: $[6:0:0]+4[5...
- 17 giu 2017, 13:39
- Forum: Geometria
- Argomento: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
- Risposte: 5
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Re: "Ahh, Cos... or some say, Sin...
Facciamo un inversione di centro $A$ e di raggio $r=\sqrt{AB*AC}$ e successivamente una simmetria lungo la bisettrice di $B\widehat{A}C$. Chiamando $P'$ ogni punto $P$ dopo la trasformazione, abbiamo che: $B'$ va in $C$ e viceversa; $B'C'$ va nella circoscritta ad $\triangle ABC$ e viceversa; la re...