La ricerca ha trovato 17 risultati

da Pit
12 set 2018, 19:29
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Senior 2018
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Re: Senior 2018

Quello lo uso solo come scusa, i conti li sbaglio in qualsiasi condizione. :?
da Pit
11 set 2018, 21:41
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Senior 2018
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Re: Senior 2018

Beh, tocca a me: - Addormentarmi in treno nel tragitto Bologna-Firenze avendo dormito 5 ore in totale le due notti precedenti perdendo la fermata, arrivando fino a Roma per poi dover risalire di nuovo fino a Firenze, perdere la prima lezione arrivando 5 minuti prima dell'inizio del test iniziale dov...
da Pit
27 lug 2018, 19:10
Forum: Geometria
Argomento: Da Padova con furore
Risposte: 3
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Re: Da Padova con furore

Siano $X,Y$ e $Z$ i simmetrici di $E$ rispetto a $BC$, $AC$ e $AB$. Avremo $AY=AE=AZ$, inoltre dato che $AD\perp E_2E_3$ e $E_2E_3\parallel YZ$, si ha $AD\perp YZ\Rightarrow D$ appartiene all'asse di $YZ$. Analogamente $D$ appartiene all'asse di $XY\Rightarrow D$ è il circocentro di $XYZ$. Con un'om...
da Pit
23 lug 2018, 16:12
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Mi ero dimenticato di questo post. 19.1. (feat. Giorgia Benassi e Sabrina Botticchio) Le funzioni possibili sono $0,x-1$ e $1-x$ che chiaramente soddisfano, mostriamo che sono le uniche. Sia $P(x,y)$ l'equazione del testo. $f$ è soluzione se $-f$ lo è, WLOG $f(0)\leq 0$. Supponiamo che $f$ non sia i...
da Pit
16 mag 2018, 15:12
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

17.1. Mostriamo che $$\frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}}<\frac{1}{x^k}$$ Facendo denominatore comune diventa $$x^k+x^{3k}<1+x^{4k}\Leftrightarrow (1-x^{3k})(1-x)>0$$ che è vera dato che $0<x<1$. Usando questa disuguaglianza anche sui termini con la $y$ otteniamo $$\left( \sum_{k=1}^n \frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}...
da Pit
11 mag 2018, 19:24
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

17.2. Sia $f(1)=c$ e supponiamo $c>1$. Con $a\mapsto 1$ sappiamo che esiste un triangolo con lati $1,f(b),f(b+(c-1))$, per la disuguaglianza triangolare questo implica $f(b)=f(b+(c-1))$ che induttivamente porta a $$f(b)=f(b+k(c-1))$$ per ogni $k$ naturale. Quindi la controimmagine di $f$ ha al massi...
da Pit
09 mag 2018, 15:11
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

17.3. Sia $P(x,y)$ la funzionale del testo. Sottraendo $P(x,y)$ e $P(y,x)$ membro a membro, si ha $$(2x+y)g(y)+f(x)=f(y)+(2y+x)g(x)$$ con $y\mapsto 0$ si ottiene $$f(x)=xg(x)-2xg(0)+f(0)$$ che sostituita nell'equazione precedente dà $$(2x+y)g(y)+xg(x)-2xg(0)+f(0)=yg(y)-2yg(0)+f(0)+(2y+x)g(x)$$ $$\Ri...
da Pit
29 mar 2018, 15:31
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

14.1. Dalla seconda equazione otteniamo $f(1^3)=f(1)^3\Rightarrow f(1)=1$ e dalla prima otteniamo induttivamente $f(m)=m$ e $f(x+m)=f(x)+m$ per ogni $x$ razionale positivo e $m$ intero positivo. Ora fissato $x$ prendiamo un intero positivo $n$ tale che $nx^2$ sia un numero intero (in particolare se ...
da Pit
28 mar 2018, 15:10
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

14.3. Sia $S$ l'insieme di numeri reali $t$ tali che che $f(x)\geq tx$ per ogni funzione $f\in F$. Mostriamo prima che $S$ non è vuoto, usando $\frac{x}{3}$ al posto di $x$ nella disuguaglianza del testo, otteniamo $$f(x)\geq f(f( \frac{2x}{3}))+\frac{x}{3}\geq\frac{x}{3}\Rightarrow \frac{1}{3}\in S...
da Pit
18 mar 2018, 11:43
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

13.2. Siano $a=\frac{2x}{y},b=\frac{2y}{z}$ e $c=\frac{2z}{x}$ con $x,y,z>0$. Allora $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}} \geq \frac{4}{3}\iff\sum_{cyc} \frac{x^2z^2}{\sqrt{yz(y^3+8x^3)(z^3+8y^3)}} \geq \frac{1}{3}\iff$$$$\sum_{cyc} \frac{x^2z^2}{\sqrt{yz(y+2x)(y^2+4x^2-2xy)(z+2y)(z^2+4y^2...
da Pit
10 gen 2018, 22:18
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

9.3. Chiamiamo $y_i=\frac{x_i}{2017}>0$ e $z_i=\frac{1}{y_i+1}>0$, da cui $y_i=\frac{1}{z_i}-1$. La condizione diventa $$\frac{1}{y_1+1}+\frac{1}{y_2+1}+...+\frac{1}{y_n+1}=z_1+z_2+...+z_n=1$$ mentre la tesi è equivalente a $$\sqrt[n]{y_1\cdots y_n}\geq n-1$$ Consideriamo la funzione $f(x)=\ln\left(...
da Pit
08 dic 2017, 11:54
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Cose in comune
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Re: Cose in comune

Sì, ho corretto
da Pit
19 nov 2017, 21:40
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
Risposte: 67
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Re: Algebra learning

5.3. Sia $P(x,y)$ la funzionale. Da $P(1,x)$ si ha $$f(f(x)+f(1))=2f(1)+x$$ da cui $f(x)$ è bigettiva. Sia $a$ tale che $f(a)=0$, da $P(a,a)$ si ha $$f(0)=a^2$$ Da P(a,0) si ha $$f(a^3)=0=f(a)\Rightarrow a^3=a\Rightarrow a(a^2-1)=0$$ Se $a=0$, da $P(x,0)$, ponendo $f(x)=z$, ottengo $$f(f(x))=2f(x)\R...
da Pit
23 ott 2017, 18:25
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
Risposte: 67
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Re: Algebra learning

Ne provo un paio. 2.1. Notiamo prima di tutto che il coefficiente direttivo è positivo (se non lo fosse, $P(x)$ sarebbe negativo per $x$ arbitrariamente grande). Dimostriamo prima la tesi nel caso in cui $P$ non abbia radici reali, dato che $z$ è una radice complessa di $P$ se e solo se lo è anche $...
da Pit
22 set 2017, 18:17
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Prodotto di cinque numeri
Risposte: 12
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Re: Prodotto di cinque numeri

Testo nascosto:
$n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n+1)^2-1$