La ricerca ha trovato 23 risultati

da Pit
30 set 2019, 09:50
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

10.1 Sirio Trattiamo prima il caso $n=0$ e poi quello $n>0$. Sostituendo $n=0$ nell'equazione del testo otteniamo: $\left(f(0)\right)^3+\left(g(0)\right)^3+\left(h(0)\right)^3=0$ Da cui, ricordando che $f(0)$ e cicliche sono naturali, quindi sono maggiori o uguali a zero, quindi la somma dei loro cu...
da Pit
30 set 2019, 09:49
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Dopo poco più di un anno volevo riproporre questa serie di problemi molto istruttivi per condividere con voi un bellissimo viaggio verso la materia olimpica (indiscutibilmente) più bella. Colgo l'occasione per aggiungere le soluzioni mancanti (sperando di non aver sbagliato niente) e per ringraziare...
da Pit
27 ago 2019, 18:09
Forum: Geometria
Argomento: Exinscritta e tangenti
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Re: Exinscritta e tangenti

Una soluzione un po' contosa. Siano $O$ il circocentro di $AFE$, $I$ l'excentro opposto ad $A$ e $t$ la lunghezza della tangente a $\omega$ passante per $M$. Dato che $AFI=\pi/2$, $O$ è il punto medio di $AI\Rightarrow MO\parallel DI\Rightarrow MO\bot PQ\Rightarrow M$ sta sull'asse di $PQ\Rightarrow...
da Pit
27 ago 2019, 09:46
Forum: Geometria
Argomento: TSTST americano
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Re: TSTST americano

Siano $H$ l'ortocentro di $ABC$ e $M$ il punto medio di $BC$. Essendo $M$ il circocentro di $BCB_1C_1$, per il teorema di Brocard, è anche l'ortocentro di $AA_2H\Rightarrow H$ appartiene alla perpendicolare a $AA_2$ passante per $M$. Allo stesso modo anche le altre due rette passano per $H$ e quind...
da Pit
09 mag 2019, 16:06
Forum: Algebra
Argomento: Calcolo limite forma indeterminata senza applicare Hôpital...
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Re: Calcolo limite forma indeterminata senza applicare Hôpital...

$$\lim\limits_{x\to-1} \frac{x+\sqrt{2+x}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x}}=\lim\limits_{x\to-1} \frac{\left(x+\sqrt{2+x}\right)\left(x-\sqrt{2+x}\right)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x}\right)}{\left(\sqrt{x+5}-\sqrt{3-x}\right)\left(x-\sqrt{2+x}\right)\left(\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x}\right)}=\lim\limits_{x\to-1} \frac...
da Pit
13 feb 2019, 18:03
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Winter 2019
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Re: Winter 2019

-partite a contact con le stesse definizioni usate un'infinità di volte (troncando dove necessario la parola) -Giorgia che non ricordandosi le definizioni usate per l'ennesima volta ne stila una lista -lo scarabocchio fatto durante la sessione di TDN che è diventato un accurato autoritratto -nurikab...
da Pit
12 set 2018, 19:29
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Senior 2018
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Re: Senior 2018

Quello lo uso solo come scusa, i conti li sbaglio in qualsiasi condizione. :?
da Pit
11 set 2018, 21:41
Forum: Olimpiadi della matematica
Argomento: Senior 2018
Risposte: 205
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Re: Senior 2018

Beh, tocca a me: - Addormentarmi in treno nel tragitto Bologna-Firenze avendo dormito 5 ore in totale le due notti precedenti perdendo la fermata, arrivando fino a Roma per poi dover risalire di nuovo fino a Firenze, perdere la prima lezione arrivando 5 minuti prima dell'inizio del test iniziale dov...
da Pit
27 lug 2018, 19:10
Forum: Geometria
Argomento: Da Padova con furore
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Re: Da Padova con furore

Siano $X,Y$ e $Z$ i simmetrici di $E$ rispetto a $BC$, $AC$ e $AB$. Avremo $AY=AE=AZ$, inoltre dato che $AD\perp E_2E_3$ e $E_2E_3\parallel YZ$, si ha $AD\perp YZ\Rightarrow D$ appartiene all'asse di $YZ$. Analogamente $D$ appartiene all'asse di $XY\Rightarrow D$ è il circocentro di $XYZ$. Con un'om...
da Pit
23 lug 2018, 16:12
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

Mi ero dimenticato di questo post. 19.1. (feat. Giorgia Benassi e Sabrina Botticchio) Le funzioni possibili sono $0,x-1$ e $1-x$ che chiaramente soddisfano, mostriamo che sono le uniche. Sia $P(x,y)$ l'equazione del testo. $f$ è soluzione se $-f$ lo è, WLOG $f(0)\leq 0$. Supponiamo che $f$ non sia i...
da Pit
16 mag 2018, 15:12
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

17.1. Mostriamo che $$\frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}}<\frac{1}{x^k}$$ Facendo denominatore comune diventa $$x^k+x^{3k}<1+x^{4k}\Leftrightarrow (1-x^{3k})(1-x)>0$$ che è vera dato che $0<x<1$. Usando questa disuguaglianza anche sui termini con la $y$ otteniamo $$\left( \sum_{k=1}^n \frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}...
da Pit
11 mag 2018, 19:24
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

17.2. Sia $f(1)=c$ e supponiamo $c>1$. Con $a\mapsto 1$ sappiamo che esiste un triangolo con lati $1,f(b),f(b+(c-1))$, per la disuguaglianza triangolare questo implica $f(b)=f(b+(c-1))$ che induttivamente porta a $$f(b)=f(b+k(c-1))$$ per ogni $k$ naturale. Quindi la controimmagine di $f$ ha al massi...
da Pit
09 mag 2018, 15:11
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

17.3. Sia $P(x,y)$ la funzionale del testo. Sottraendo $P(x,y)$ e $P(y,x)$ membro a membro, si ha $$(2x+y)g(y)+f(x)=f(y)+(2y+x)g(x)$$ con $y\mapsto 0$ si ottiene $$f(x)=xg(x)-2xg(0)+f(0)$$ che sostituita nell'equazione precedente dà $$(2x+y)g(y)+xg(x)-2xg(0)+f(0)=yg(y)-2yg(0)+f(0)+(2y+x)g(x)$$ $$\Ri...
da Pit
29 mar 2018, 15:31
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

14.1. Dalla seconda equazione otteniamo $f(1^3)=f(1)^3\Rightarrow f(1)=1$ e dalla prima otteniamo induttivamente $f(m)=m$ e $f(x+m)=f(x)+m$ per ogni $x$ razionale positivo e $m$ intero positivo. Ora fissato $x$ prendiamo un intero positivo $n$ tale che $nx^2$ sia un numero intero (in particolare se ...
da Pit
28 mar 2018, 15:10
Forum: Algebra
Argomento: Algebra learning
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Re: Algebra learning

14.3. Sia $S$ l'insieme di numeri reali $t$ tali che che $f(x)\geq tx$ per ogni funzione $f\in F$. Mostriamo prima che $S$ non è vuoto, usando $\frac{x}{3}$ al posto di $x$ nella disuguaglianza del testo, otteniamo $$f(x)\geq f(f( \frac{2x}{3}))+\frac{x}{3}\geq\frac{x}{3}\Rightarrow \frac{1}{3}\in S...