OliForum Matematico

Sia $ABC$ un triangolo e consideriamo la circonferenza $\omega_B$ passante per $B$ e tangente ad $AC$ in $A$ e la circonferenza $\omega_C$ passante per $C$ e tangente ad $AB$ in $A$. $\omega_B$ interseca $BC$ nuovamente in $P$ e $\omega_C$ interseca $BC$ nuovamente in $Q$. Siano $P’$ e $Q’$ rispetti...

Posto qui due problemi: uno di livello Febbraio e uno preso dalle EGMO di quest’anno. L’intenzione è quella di aiutare e incoraggiare coloro che vogliono migliorare in G a risolvere un problema internazionale, perché vi dirò, dopo aver risolto il Problema 1 di questo topic, il problema delle EGMO mi...

La stragrande maggioranza di voi sa che mi piace tantissimo scrivere gare e finalmente la cosa è stata estesa a tutto il mondo :D ma come sempre il mio invito è rivolto anche a voi. La gara consiste di 16 problemi da fare in mezz'ora (4 di ogni materia, ordinati per presunta difficoltà). Il problema...

Lemma
Dati due punti [math]A,B nel piano e altri due punti [math]C,D che stanno sullo stesso semipiano delimitato dalla retta [math]AB, [math]ABCD è ciclico se [math]\widehat{ACB}=\widehat{ADB}

Mi dicono stasera alle 21:45

Link alle istruzioni: http://matteosalicandro.altervista.org/tetrathlon

Siano [math]a,b,c,d \in \mathbb{R^+} e supponiamo che tutte le radici dell’equazione
[math]\begin{equation}
x^5-ax^4+bx^3-cx^2+dx=1
\end{equation}
siano tutte reali. Dimostrare che
[math]\displaystyle \sum_{cyc} \frac{1}{a} \le \frac{3}{5}

TeoricodeiNumeri ha scritto: ↑

25 mag 2020, 20:14

Testo nascosto:

Per Cauchy-Schwarz iterato abbiamo che
$LHS\geq (a^2 b^2+1)^2 (1+c^2 d^2)^2 =[(a^2 b^2 +1)(1+c^2 d^2)]^2 \geq (ab+cd)^4=RHS$

Ggwp

Mostrare che per ogni $n\geq 2$ naturale si ha che l'espressione \begin{equation} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} \end{equation} non è un numero intero. Bonus Dimostrare che per ogni $n\geq 1$ naturale si ha che l’espressione \begin{equation} 1+\frac{1}{3}+\frac...

Siano [math]a,b,c,d \in \mathbb{R}.
Dimostrare che:
[math](a^4+1)(b^4+1)(c^4+1)(d^4+1) \ge (ab+cd)^4

Si è già fatto l'1 Maggio.

Purtroppo non lo trovo più, ho cambiato PC dopo la gara e ovviamente non ho salvato nulla.

Pare che ogni ponte porti con sé una gara in questo periodo...
Sono lieto di annunciarvi che l'1 Giugno avverrà il I Tetrathlon Matematico.
4 prove di problemi a risposta numerica. Ogni prova, una materia .

Per maggiori info:
http://matteosalicandro.altervista.org/index.php

L’insieme delle soluzioni è corretto, ma come dimostri che è l’unica?

Poniamo x_{2021}=x_{2020}^2-x_{2020}+1 , abbiamo quindi x_{i+1}=x_i^2-x_i+1 per ogni 0<i<2021 e x_1=x_{2021} . Ora dimostriamo che x_{i+1} \geq x_{i} per ogni i tale che 0<i<2021 : supponiamo per assurdo ciò sia falso, allora si avrebbe x_{i+1} < x_i \Rightarrow x_i^2-x_i+1 < x_i \Rightarrow (x_i-1...