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P1)
Sia P il punto appartenente al segmento AD tale che AP=AB e PD=DC . I triangoli \triangle{ABP} e \triangle{DCP} sono allora entrambi isosceli, il primo sulla base BP e il secondo sulla base CP . Pertanto la bisettrice di \angle{BAP}=\angle{BAD} coincide con l'asse di BP , e similmente la ...

Ho trovato la gara un po' più difficile del solito.

AleL05 ha scritto: 30 mar 2021, 20:16

AleL05 ha scritto: 30 mar 2021, 19:52 sono pressoché sicuro che la 7 sia [math]\frac{\sqrt{5}-1}{2}

Mi potete confermare? Se non vi è risultata così, potete postare il vostro procedimento?

È giusta.

Segnalo un piccolo errore nell'articolo sul sito (prima è scritto "18 marzo", poi "18 febbraio").

Essendo necessaria l'ipotesi che il centro del poligono coincida con l'origine, e poichè in un poligono regolare circocentro, baricentro, incentro ecc... coincidono, ho pensato di poter dare per scontato questo fatto. Altrimenti, bisognerebbe specificare in quale centro del poligono sappiamo essere ...

Propongo una soluzione "fisica".
Mettiamo una massa m uguale in ogni vertice. Poichè il poligono è regolare, il baricentro di questo sistema si trova al centro del poligono, cioè nell'origine. Segue che il sistema di riferimento scelto coincide con quello del centro di massa. Ma allora si ha per ...

Per assurdo, esistano y_1, y_2 \in \mathbb R_+^2 , con y_1 \neq y_2 , tali che y_1^n=y_2^n=x . Allora y_1^n-y_2^n=x-x=0 , perciò, scomponendo:
\displaystyle 0=y_1^n-y_2^n=(y_1-y_2)(y_1^{n-1}+y_1^{n-1}y_2+ \cdots + y_1y_2^{n-1}+ y_2^{n-1}) . Poichè il secondo fattore è una somma di numeri positivi ...

Per prima cosa faccio a mano i casi n=2 ed n=3 , ottenendo rispettivamente \frac{3}{2} \notin \mathbb N e \frac{11}{6} \notin \mathbb N . Sia per il seguito n \geq 4 .

Riscriviamo la somma come

\displaystyle S=\frac{\frac{n!}{1}+\frac{n!}{2}+\cdots+\frac{n!}{n}}{n!}

Sia p il più grande primo ...

Direi che ora va bene.

Maionsss ha scritto: 15 apr 2020, 14:26 mi basta prendere $b=3 \times (2^{2^{k}} +1)$ per avere $2^{2^{k}} +1| b^{2}+9$.

Questo passaggio non mi torna, puoi spiegare meglio?

Giusto! Vai con la dimostrazione.

Dovrebbe essere 64.

Grazie.

Sarebbe il caso che chiarissi l'ultimo passaggio, anche perchè usa un teorema che conviene conoscere.

Sia [math]n>2 un intero positivo e [math]p un numero primo tale che [math]\displaystyle \frac{2n}{3}<p<n. Dimostare che [math]p \not | \binom{2n}{n} .