OliForum Matematico

Sia $a_1=2$ e per $n>1$ definiamo $a_n=1+\Pi_{i=1}^{n-1}a_i$. Determinare il limite di $x_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}$ per $n\to\infty$.

Stabilire per quali $n\in\mathbb{N}$ e' possibile trovare una funzione $f\colon S\times n\to S$, dove $n=\{0,\dots,n-1\}$ e $S=\{x_0,\dots,x_{n-1}\}$ qualsiasi, tale per cui (i) $f(x,0)=x$ per ogni $x\in S$; (ii) se per qualche $y\in S$ e $i\in n$ si ha che $f(y,i)=x$, allora necessariamente $f(x,i)...

Trovare $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continua tale che $f(I)=\mathbb{R}$, dove $I=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

Puo' esistere un sottoinsieme $D\subset \mathbb{R}$ tale per cui
(i) $D$ e' denso in $\mathbb{R}$;
(ii) Per ogni $x.y\in D$, se $x<y$ allora $x-(y-x)\notin D$?

Stabilire se possa o meno esistere una funzione $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ strettamente crescente con immagine mai densa, sarebbe a dire tale che la sua chiusura topologica ha interno vuoto: $(\overline{\textrm{Im}f})^\mathrm{o}=\emptyset$.

Capisco l'impressione, ma MNE si rivela piena di problemi che vanno ben oltre i dubbi che si può porre un olimpiadista delle superiori, vedi ad esempio qui o qui (e tanti altri suoi) o qui . Per non parlare del fatto che il problema non dovrebbe classificarsi come copiaincollato, visto che non ho lo...

Ciao! Credevo che questa sezione servisse a questo. Si tratta di un problema molto carino ed elementare, dopo aver visto la corrispondenza tra Suslin line e Sulin tree.

Show that every meager subset $A$ of a given Suslin line is nowhere dense (in the usual order topology).