La ricerca ha trovato 42 risultati

da Gi8
29 gen 2016, 09:46
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: non trovo l'errore
Risposte: 1
Visite : 1286

Direi che è falsa: prendi $a=1$, $d=2$, $n=2$. La sequenza è $1, 3$. Nessuno di questi numeri è divisibile per $n$, ma $(d,n)=(2,2)=2$.
da Gi8
15 lug 2015, 16:41
Forum: Algebra
Argomento: Funzionale (facile) sui naturali
Risposte: 1
Visite : 1439

Funzionale (facile) sui naturali

Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tali che $f(f(n))= f(n+1)-1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$

n.b. $\mathbb{N}= \{0,1,2,\ldots\}$
da Gi8
10 mar 2015, 22:12
Forum: Algebra
Argomento: Disfida 2014
Risposte: 4
Visite : 2641

per ogni $x,y$ interi vale f(x^2+y)=2f(x)^2-f(y)^2-2yf(x) $x=y=0 \implies f(0)=f(0)^2$ da cui $f(0)=0$ oppure $f(0)=1$ Se $f(0)=0$, l'unica possibilità è $f(x)=0$ per ogni $x \in \mathbb{Z}$ con $x=0$ si ha $f(y)= -f(y)^2$, cioè $f(y) \in \{0, -1 \}$ per ogni $y \in \mathbb{Z}$. Inoltre con $y=0$ ab...
da Gi8
30 gen 2015, 11:11
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Cesenatico 2006 Semifinale
Risposte: 0
Visite : 1243

se $(a,b)$ è soluzione anche $(b,a)$ la è. Dato che $34^2=1156>1105$, si ha $1 \leq a,b \leq 33$. Inoltre non può essere $a=b$ perchè si avrebbe $2a^2= 1105$. Supponiamo allora $b<a$. Si ha pertanto $2b^2 <a^2+b^2=1105$, da cui $b^2<\frac{1105}{2}=552.5 \implies b\leq 23$. Pertanto abbiamo le seguen...
da Gi8
23 giu 2014, 16:06
Forum: Algebra
Argomento: Funzionale dal sapore positivo
Risposte: 6
Visite : 1425

Se $A$ ha un solo elemento, allora esiste $c>0$ tale che $A=\{ c\}$.
Ciò significa, per definizione di $A$, che per ogni $x >0$ si ha $x \cdot f(x)=c$, da cui $f(x)= \frac{c}{x}$
da Gi8
23 giu 2014, 15:03
Forum: Algebra
Argomento: Funzionale dal sapore positivo
Risposte: 6
Visite : 1425

C'è una sola soluzione: $f(x) = \frac{1}{x}$ $x=y \implies 2x^2 f(x)= 2x f(xf(x)) \implies x f(x)= f(x f(x))$. Posto $A := \{ x f(x) | x >0\} \subseteq \mathbb{R}^+$, per ogni $ z \in A$ si ha $f(z)=z$. Ovviamente $A$ è non vuoto (c'è almeno $f(1)$) Se $A$ ha solo un elemento, allora esiste $c>0$ ta...
da Gi8
23 giu 2014, 14:36
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Tanti liberi da quadrati
Risposte: 24
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Altra dimostrazione di $\displaystyle \sum_{p \text{ primo} } \frac{1}{p^2} < \frac{1}{2}$ $\displaystyle \sum_p \frac{1}{p^2} = \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{5^2}+ \sum_{ p\geq 7 } \frac{1}{p^2}< \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{5^2}+ \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{(2n)^2}=$ $\display...
da Gi8
19 giu 2014, 12:40
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Tanti liberi da quadrati
Risposte: 24
Visite : 8674

Ho capito che la sommatoria sui primi è finita, ma non riesco a trovare una giustificazione per quella disuguaglianza.
Perchè puoi minorare i primi con potenze di due?
(probabilmente è una stupidata, ma non ci arrivo)
da Gi8
19 giu 2014, 11:43
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Tanti liberi da quadrati
Risposte: 24
Visite : 8674

@gpzes: Perchè vale questo? \[\sum_p \frac{1}{p^2} < \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{1}{2^k}\]
da Gi8
18 giu 2014, 18:17
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Tanti liberi da quadrati
Risposte: 24
Visite : 8674

Premessa: $\displaystyle \sum\limits_{p \text{ primo}} \frac{1}{p^2}< \frac{1}{2}$ Dimostrazione (bruttina): Sappiamo che $\displaystyle \sum_{ n \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}< 1.65$ Posto $\alpha:= 1+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{8}\right)^2...
da Gi8
22 apr 2014, 17:00
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: primi e cubi
Risposte: 5
Visite : 3406

$\quad p^2-p+1=a^3 \implies p(p-1)=(a-1)(a^2+a+1)$. Certamente $p \mid a-1 \vee p \mid a^2+a+1$ Però se $p \mid a-1$ si avrebbe $p<a$, da cui $a^3=p^2-p+1<p^2<a^2 \leq a^3$, assurdo. Dunque necessariamente $p \mid a^2+a+1$. Ciò significa che $p-1= b\cdot(a-1)$ per un certo $b \in \mathbb{Z}^+$. Dato...
da Gi8
17 apr 2014, 16:42
Forum: Altre gare
Argomento: Problema 19 della gara a squadre Bocconi
Risposte: 4
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$998^2=999\cdot 997+1$ $593^2-1=592\cdot594= \ldots= 2^5\cdot 11 \cdot\overbrace{3^3\cdot 37}^{999}= 352 \cdot 999$, dunque $593^2= 999\cdot 352+1$ $405^2= (998-593)^2= 998^2+593^2-2\cdot998 \cdot 593=999(997+352)+1+1-999 \cdot 2 \cdot 593+2\cdot 593= $ $=999(163)+2 \cdot 594$ $406^2= 405^2+1+2 \cdo...
da Gi8
15 apr 2014, 23:44
Forum: Altre gare
Argomento: Problema 19 della gara a squadre Bocconi
Risposte: 4
Visite : 2808

A me viene anche $998$. L'ho trovato così: Se $n$ è il numero con la proprietà richiesta, allora esiste $a$ intero positivo (di tre cifre) tale che $n^2 = 1000a + 1000-a$, da cui $n^2= 999(a+1)+1$. Vediamola al contrario, cioè proviamo a trovare $a$ in modo che $999(a+1)+1$ sia un quadrato perfetto....
da Gi8
08 gen 2014, 10:40
Forum: Algebra
Argomento: Funzionale sui Razionali (2)
Risposte: 8
Visite : 1685

Funzionale sui Razionali (2)

Trovare tutte le $f: \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ tali che per ogni $x \in \mathbb{Q}$ valga $\displaystyle \begin{cases} f(x+1)=f(x)+1\\f^2(x)=f(x^2) \end{cases}$
da Gi8
30 dic 2013, 11:31
Forum: Teoria dei Numeri
Argomento: Quesito di Gara a squadre....
Risposte: 10
Visite : 4236

Non bisogna contare tutte le possibili terne.Bisogna contare quelle valide, cioè quelle terne $(a,b,c)$ (con $a,b,c$ interi non negativi tali che $a+b+c=94$) per cui si abbia che il numero di modi di dare i $94$ biscotti ai tre tizi col vincolo di darne $a$ al primo, $b$ al secondo e $c$ al terzo si...