OliForum Matematico

Trovare tutte le coppie di numeri primi $ $(p,q)$ $ tali che $ $pq|5^p+5^q$ $.

se non sbaglio è arci-risaputa..
ma è sempre bella per chi la vede per la prima volta :wink:

Propongo a tutti di dimostrarla in più modi possibili.

Comincio io.

Sostituendo $y_i=1-x_i$ ottengo $\sum_{cyc}\dfrac{1}{\sqrt{y_1}} \ge \sqrt{\dfrac{n}{n-1}}+\sum_{cyc}\sqrt{y_1}$ con $\sum_{cyc}y_1=n ...

Una dimostrazione senza l'uso dei vettori secondo voi è fattibile?

kn ha scritto:Anche qui era stato postato con l'anno in corso... Comunque auguri a tutto l'oliForum!

Ecco perché mi sembrava di averla già vista

lorelapo ha scritto: insieme a mantis siamo pervenuti a una dimostrazione dell'infinità delle soluzioni che non mi convince molto per cui non sto nemmeno a postarla per ora. Voi avete qualche idea ?

Visto che sono passati un po' di giorni, potresti postare la tua?

In parole molte povere: ha visto come varia l'ultima cifra delle varie potenze, se fai un paio di conti puoi vedere che si ripetono.

EDIT: Preceduto

Queste sono le magnifiche 4.

Ok, ora so esattamente quante persone devo fare fuori prima della gara :lol:

Spinelli: hanno "perso" l'individualista dell'anno scorso ma hanno avuto una new entry che potrebbe essere la sorpresa dell'anno, non solo a livello provinciale Evil or Very Mad In più c'è ...

Azz...ci penserò.

Per la definizione di asse radicale (la potenza di $ $C$ $ rispetto a $ $\Gamma_1$ $ è uguale alla potenza di $ $C$ $ rispetto a $ $\Gamma_2$ $): $ $CD \cdot CG = EC \cdot CF$ $.
Hai due triangoli simili opposti al vertice $ $C$ $, da ciò $ $EDFG$ $ ciclico.

$a+b+c|a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \Longrightarrow a+b+c|2(ab+bc+ac)$

Togliamo subito i casi patologici.
Abbiamo due casi:
1) $a+b+c=1$ da cui due numeri sono uguali a 0, quindi almeno uno fra \displaystyle \frac{a^3-b^3}{a+b+c},\frac{b^3-c^3}{a+b+c},\frac{c^3-a^3}{a+b+c} è pari a 0, da ...

Hai scambiato D con E.

Bravo kn! :D

Ecco un'altra dimostrazione:
1) EDFG ciclico perché C sta sull'asse radicale => $\widehat{FED} \cong \widehat{DGF}$ .
2) HG//EC e DC//IF (*) => $\widehat{FIE} \cong \widehat{CDE}$ , $\widehat{DCE} \cong \widehat{DGH}$ , $\widehat{GHD} \cong \widehat{CED}$ .
3) Per i due punti ...

Bravo hoja!
Alla fine come te la sei cavato con il cinese?

jordan ha scritto:Oltre la dimostrazione del teorema di Dirichlet, ho anche una dimostrazione olimpica.. da dove l'hai preso questo esercizio?

Potresti postarla? E' da un po' che provo a risolverlo...