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Sia P(x,y) il predicato dell'equazione funzionale f(x^2+y+f(y))=2y+f(x)^2 . P(0,y) \implies f(y+f(y))=2y+f(0)^2 Da cui segue la bigettività di f . P(x,y)-P(-x,y) \implies f(x)^2=f(-x)^2 Da cui per certi x reali f(x)=f(-x) e per altri f(x)=-f(-x) , tuttavia la bigettività della funzione comporta l'e...

Per dare significato a quella radice deve valere per ogni n : -1\leq x_n\leq1 . Definisco quindi una nuova sequenza a_n che soddisfi x_n=\sin a_n , sostituendo nella relazione del testo: x_{n+1}=2x_n\sqrt{1-x_n^2} \implies \sin a_{n+1}=2\sin a_n\sqrt{1-\sin a_n^2}=2\sin a_n\cos a_n=\sin 2a_n Da cui...

Posto una dimostrazione sintetica che fa uso di alcuni lemmi noti molto utili su poli e polari. Claim : Detto H’ l’inverso di H , esso giace su FG . Lemma di La Hire : Data una circonferenza e due punti P, Q , dette p e q rispettivamente le due polari, P giace su q se e solo se Q giace su p . La pol...

Sia $ a\geq1 $ un intero fissato, si definisca la successione $ x_n=2^{2^{n} }+a $. Dimostrare che esiste almeno un intero positivo $ m $ per cui $ x_m $ non sia primo.
Bonus: Gli interi non primi appartenenti alla successione $ x_n $ sono in numero finito?

Sia AB diametro di una circonferenza ω , H punto esterno alla circonferenza sulla retta AB e D un punto sulla perpendicolare ad essa passante per H . Le tangenti da D a ω incontrano la circonferenza in G,F , la retta AD interseca ω in C , distinto da A , le tangenti in B e C si intersecano in E . Di...

Operando la sostituzione 12x+1=p e guardando tutto modulo p ottieni che p potrebbe essere un numero primo, quindi verifichi che tutti i primi in quella forma vadano bene e concludi che le soluzioni sono infinite per il teorema sulle progressioni aritmetiche di Dirichlet, poi rimane da controllare i...

Quale delle due è l’equazione che richiedi?
$ 2^{12}x-1=12xy+y $
$ 2^{12x}-1=12xy+y $

Davvero un problema interessante, qui sotto una dimostrazione sintetica. Siano F=(ABE) {\displaystyle \cap } (ACD) , G punto medio dell'arco BC della circoscritta ad ABC contenente il vertice A , O circocentro di ABC . Si vuole mostrare che il punto di concorrenza delle tre circonferenze sia G , che...

Avevo semplicemente usato $ \frac{1}{n} $ al posto di $ n $, quindi il limite era per $ n $ a $ 0 $ e non a $ +\infty $. Ho quindi modificato il post precedente utilizzando $ n $.

Ammetto di essere stato indecorosamente pigro nel calcolare \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n})^n , pertanto mi correggo: Sia m = \max\{a, b\} , allora \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^\frac{1}{n}+b^\frac{1}{n})^n≥\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (2m^\frac{1}{...

Sei sicuro che il limite sia proprio quello? Penso invece che il limite che si tratti di \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a^n+b^n)^\frac{1}{n} . VERSIONE ERRATA: \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a^\frac{1}{n}=1 , il limite richiesto diventa: \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2^n = +\infty

Ho specificato che alcune lampadine che dovrebbero essere accese sono spente durante il procedimento ma che si possono riaccendere ripetendo i passaggi che avevano portato alla loro accensione. Purtroppo mi rendo conto che in questa fase sono stato un po' vago ma spero di non essere troppo penalizz...

Scrivo qui perchè non so se devo aprire un altro post. Nella dimostrazione del 15, a differenza di quella mostrata nelle soluzioni, ho affermato che è possibile accendere qualunque primo scegliendo 1 e il primo, qualunque numero che è prodotto di primi scegliendolo insieme a un numero che è il prod...

Giusto per curiosità, dove avete studiato queste cose; come fate a conoscere questi argomenti? Le funzioni generatrici sono qualcosa di molto utile per valutare somme, determinare il termine n-esimo in una ricorsione, capire l’andamento e scoprire proprietà “insolite” di una certa funzione. A tal p...

Premetto che nel corso della dimostrazione userò fatti che sono decisamente poco olimpici, quali le funzioni generatrici. In primo luogo scrivo la funzione generatrice di Lambert della successione avente come termini \phi(n) : LG(\phi(n),x)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)x^{n...