OliForum Matematico

Allora direi che si fa così Per MacLaurin osserviamo che: \sqrt[3]{abc}\le\frac{a + b + c}{3} cioè 27abc\le(a + b + c)^3 poiché per ipotesi iniziali a + b + c\ge abc allora (a+b+c)^2\ge 27 cioè a+b+c\ge 3\sqrt{3} Ora ragioniamo sulle medie, QM-AM: \sqrt\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3}\ge\frac{a + b + c}{3...

Osservariamo che: - se poniamo x=0 otteniamo p(\tfrac{1}{2011})=0 - se poniamo x=1 otteniamo p(1)=0 Ora proviamo a porre x=\tfrac{2010}{2011} abbiamo p(\tfrac{2010}{2011})=p(1)=0 Ora proviamo a porre x=\tfrac{2009}{2011} abbiamo p(\tfrac{2009}{2011})=p(\tfrac{2010}{2011})=0 E possiamo comportarci co...

e va bene perché è la più comoda, al massimo specifica che la prendi appunto per comodità.. non ha senso parlare di più o meno generico perché trattandosi di log puoi sempre fare un cambio base, proprio come diceva Lasker

Qualche indizio?

ab(c)^N

Trovare il più piccolo N intero positivo per il quale si abbia: \frac{abc^{N}}{\left ( a^{100} + b^{100} + c^{4000} \right )\left ( a^{100} + b^{4000} + c^{100}\right)\left ( a^{4000} + b^{100} + c^{100}\right)}\le 2013 per ogni terna di numeri reali (a , b, c), non tutti nulli, tali che \left | a \...

erFuricksen ha fatto giusto! Rispondendo all'osservazione di gpzes, secondo me la matematica è matematica, quindi non penso che ci siano problemi a utilizzare un teorema come quello di Mihailescu... Comunque gpzes propone un altro metodo di risoluzione ugualmente efficace, quindi bravi entrambi!

Determinare tutte le terne (p, n, a), con p che è un numero primo e n,a interi positivi tali che:

$ (2p)^n +1 = a^3 $

Una precisazione: l'obiettivo del gioco è costringere l'altro a non poter scegliere alcun k?

Bastava fare così: Per Piccolo Teorema di Fermat n^2 \equiv 1 \pmod{3} e dunque n^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3} A questo punto allora p(p^4 + 1) \equiv 0 \pmod{3} Caso 1) p \equiv 0 \pmod{3} ma l'unico primo così è ovviamente 3 e quindi troviamo la prima e unica coppia (3, 16) Caso 2) p \equiv 1 \pmod{3} ...

Chiaramente avevo già provato (in particolare pensavo che fosse una buona idea ragionare sulla congruenza modulo 16 visto che stavo trattando una potenza quarta se raccoglievo p) e avevo anche provato a raccogliere in diversi modi ma ogni volta non riesco a trovare niente di soddisfacente. 3 e 16 ov...

Vi chiedo aiuto con questo problema, non riesco proprio a sbloccarmi. Qualche consiglio?
Determinare tutte le coppie (p,n) dove p è un numero primo e n è un intero positivo tali che:
$ p^5 + 4p + 1 = n^2 $

Trovare tutte le funzioni strettamente monotone $ \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ che verifichino la relazione:

f(x + f(y)) = f(x) + y