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Premetto che non ho letto attentamente il testo dell'esercizio né tantomeno ho provato a farlo, ma mi pare molto strano che (a:x) indichi il quoziente di due ideali (tra l'altro con x indichi l'ideale principale generato da x ?). Mi sembra più probabile (anche per l'argomento) che (a:x) indichi il t...

La domanda che sto per farvi non è ne un esercizio ne un problema aperto: sto leggendo un articolo in cui tra le altre cose si parla di un campo ~k (e fin qui non è che abbia detto molto) di caratteristica ~p . Viene fatta l'ipotesi che \left[k:k^p\right]=p^d < \infty ( ~k^p=\left\{x^p | x \in k\rig...

Non è difficile dimostrare che se X è uno spazio di Banach riflessivo e \left\{x_i\right\}_{i=1}^{+\infty} è una base di Schauder per X allora x_i converge debolmente a 0 . Ciò non è vero in generale, per esempio in c_0 (lo spazio delle successioni reali che tendono a 0) si può trovare una base di S...

Per il secondo punto (si tratta di un esempio famoso, e in effetti non facile da trovare): il sottogruppo dei quaternioni $ Q=\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\} $ è ovviamente non abeliano, ma ha tutti i sottogruppi normali (quelli di ordine 4 hanno indice 2, mentre l'altro sottogruppo è il centro).

A questo punto facciamo l'ultimo rilancio: dato un qualsiasi $ S\subseteq \mathbb{R} $ che sia un $ F_\sigma $ dimostrare che esiste una funzione che è discontinua solo sui punti di $ S $. Per chi vuole dimostrare anche il viceversa.

Nota che detto b_k=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin(kx)}{\sqrt{|x|}} si ha b_k=0 \; \forall k , quindi la trasformata di Fourier di f=\frac{1}{\sqrt{|x|}} appartiene a \ell_2 se e solo se a_k è a quadrato sommabile. Tuttavia f \not \in L^2 e quindi la sua trasformata non può appartenere a \ell_2 . È inte...

Se non mi sto rimbambendo la risposta è no. Conosci un po' di serie di Fourier?

Sia f: \mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione Lebesgue-misurabile, periodica di periodi s e t , con \frac{s}{t} irrazionale. Si provi che esiste k \in \mathbb{R} tale che f(x)=k valga almeno quasi ovunque. Si mostri che la tesi è falsa se non si assume la misurabilità di f , in questo caso f può esse...

Sia $ P(x)=x^n+a_nx^{n-1}+\dots+a_0 \in \mathbb{Z}[x] $ un polinomio non costante a coefficienti interi, tale che $ P(0)\not = 0 $. Si supponga inoltre che ogni radice complessa $ z $ di $ P $ soddisfi $ |z|\leq1 $. Si provi che tutte le radici di $ P $ sono anche radici dell'unità.

Riesumo questo vecchio topic in quanto mi sembra di ricordare che avesse destato almeno un po' di interesse e ora ho una soluzione decente. Supponiamo che la successione \left\{\deg{\left(P_i}\right)\right\}_{i \in \mathbb{N}} sia limitata da una costante M . La funzione \|\cdot\| che manda il polin...

Confermo quanto detto da Nonno Bassotto, infatti l'esempio citato da me è uno spazio vettoriale topologico non localmente convesso, infatti si dimostra che gli unici aperti convessi in quello spazio sono l'insieme vuoto e l'intero spazio.

Nel caso di spazio vettoriali topologici non è più vero, infatti esistono spazi vettoriali topologici $ X $ per cui $ X^\ast $ è banale, ad esempio gli spazi $ L^p $ con $ 0<p<1 $. Se siete desiderosi di più dettagli chiedete.

A questo indirizzo http://utenti.lycos.it/mate_fisica/tesi.pdf trovate la mia tesi di laurea triennale. Tratta di una generalizzazione del teorema di Radon-Nikodym che al posto di misure complesse considera misure a valori in un qualsiasi spazio di Banach. Se volete solo dare un'occhiata leggete il ...

Sia ABC un triangolo acutangolo. Sia CH l'altezza relativa al vertice C . Si scelga un punto P su CH e siano Q e R l'intersezione, rispettivamente, di AC con la retta BP e di CB con la retta AP . Si provi che P è l'ortocentro di ABC se e solo se i punti P , Q , C e R sono conciclici. Si esamini anch...

Sia $ X $ un insieme e sia $ S \subseteq X \times X $ una relazione d'ordine parziale su $ X $. Dimostrare che esiste una relazione d'ordine totale $ R $ su $ X $ tale che $ S \subseteq R $.