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Bella soluzione! Il trucchetto non l'avevo mai visto :D Un commento sulla soluzione: Si nota che le proiezioni di $B$ e $C$ su $IM$ stanno in effetti sulla circonferenza di centro $M_a$ e raggio $M_aA_1$. La conclusione non mi era sembrata subito immediata e allora ho fatto un po' di conti con gli a...

Faccio il bonus di dario2994 (Utilizzo il risultato di questo topic )... Sia $0\leq r< p$ il resto della divisione che si ottiene dividendo $n$ per $p$. Quindi per un certo $q\geq 0$ si ha che $n=qp+r$. Ora voglio sapere per quanti $0 \leq k \leq n$ si ha che $p \nmid \displaystyle\binom{n}{k}$. Inn...

editato il tex . EG ------------------ Faccio innanzitutto il caso $a<b$. In tal caso $\displaystyle\binom{a}{b} \equiv \displaystyle\binom{a+p}{b} \pmod p$. Ma si ha $\displaystyle\binom{a+p}{b}=\dfrac{(a+p)!}{b!(p+a-b)!}$ e contando i fattori $p$ ne abbiamo sicuramente esattamente uno al numerato...

Bon tutto bene :D Metto un altro problema, con l'obbligo di risolverlo senza fare conti in coordinate di qualunque genere (oddio se proprio vi piace metteteceli, ma vorrei una soluzione nello spirito di questo thread :) ). Vi assicuro che esiste una bella soluzione sintetica (che utilizza qualche fa...

Bene per le tre dimostrazioni, se volete altri problemi del genere dovete aspettare :D Intanto provate a mostrare che la tripolare dell'ortocentro è l'asse radicale della circonferenza circoscritta e della circonferenza di Feuerbach (non c'entra nulla con la proiettiva, prometto di non andare più OT...

Suppongo che $n$ sia un numero naturale fisso maggiore di 0. In tal caso se $x=1$ si ha $(1-2^n)p(2)=0$, da cui essendo certamente $1-2^n \neq 0$ si ha $p(2)=0$. Voglio mostrare che $p(2^k)=0 \quad \forall 1 \leq k \leq n$. Suppongo valga fino a un certo $j$, allora con $x=2^j$ si ha $(2^j-2^n)p(2^{...

Aggiungo altri problemi che hanno una dimostrazione "proiettiva" (nel senso che sfrutta ciò che è stato detto in questo post :) ). \textbf{Problema [1]:Teorema della farfalla} : Data una circonferenza e una corda $AB$ al suo interno, sia $M$ il punto medio di $AB$. Siano $r$ e $s$ due rett...

Sia $ABC$ un triangolo acutangolo con ortocentro $H$ e circonferenza circoscritta $\Gamma$. Sia $P$ un punto dell'arco $BC$ di $\Gamma$ che non contiene $A$. Traccio da $P$ le perpendicolari ad $AB$, $BC$ e $CA$ chiamando $P_1$, $P_2$ e $P_3$ i piedi delle perpendicolari. Fatto noto: $P_1$, $P_2$ e ...

$A,Q_1,P_1,P,P_2,Q_2$ giacciono tutti su una stessa circonferenza di diametro $AP$, visti gli angoli retti dati per ipotesi. Applico Pascal all'esagono $AP_1Q_2PQ_1P_2$. Esso è inscritto in una circonferenza, quindi $AP_1 \cap PQ_1 = B$, $P_1Q_2 \cap Q_1P_2$ e $Q_2P \cap P_2A=C$ sono allineati. Dunq...

E bravo Sonner :) Visto che è stata tirata in ballo la formula di inversione di Möbius, metto qualche rilancio :) Date due funzioni aritmetiche (con dominio = $\mathbb{N}$) $f(n)$ e $g(n)$ definisco convoluzione di $f$ e $g$ tale somma: $f\cdot g = \displaystyle\sum_{d|n} f(d)g\left(\dfrac{n}{d}\rig...

Eccola
http://imageshack.us/f/594/classificaw.png/

A quando la stretta di mano?

quesito 1 \displaystyle \sqrt[3]{\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{h}{2}\right)} \le \sqrt{\frac{\left({\frac{r}{\sqrt{2}}}\right)^2+\left({\frac{r}{\sqrt{2}} }\right)^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2 }{3}} ; ma \displaystyle r^2+ \frac{h^2}{4}=R^2 , quindi \disp...

C'è un altro modo carino per risolverlo. Sia $t$ la tangente condotta alla circonferenza da $N$ e $s$ la parallela condotta a $PN$ da $M$. Sia $s\cap t=V$. Allora $\angle VMQ = \angle NPV$ per il parallelismo e $\angle NPV = \angle VNQ$ perché insistono sullo stesso arco. Dunque $\angle VMQ=\angle V...

$FQ//EB\perp BC//FG$. Un piccolo typo, $EB\perp AC$. Inoltre $LG//AC\perp DE$ Anche qui, $LG//A'C$. :) La soluzione è Ok, per dario2994 puoi andare con il prossimo. C'era però una strada alternativa: uso le lettere della tua figura e anche il fatto 1. Il simmetrico $E'$ di $E$ rispetto a $AC$ sta s...

Boh, metto la mia soluzione perché mi sembra utile (a chi :) ?) ricordarsi questa formuletta che mi sono ricavato. L'idea è la stessa di dario, dimostrare che $AN^2+BN^2+CN^2 \leq 3R^2$. Voglio trovare $AN^2$. Sia $\gamma_f$ la circonferenza di Feuerbach di $ABC$. Allora $pow_{\gamma_f} A = AN^2-r_{...