OliForum Matematico

Gara di Pordenone, noi del Marinelli di Udine abbiamo fatto 2014 punti, dando un distacco di un migliaio di punti ai secondi :D Uè, non tirartela tanto... :? ...in fondo non li abbiamo neanche doppiati i secondi (per un centinaio di punti) :twisted: :twisted: :twisted: muahahahahaha Per inciso, pas...

C'è come (quasi) sempre anche il metodo bovino: la considero come un'equazione di 2° grado in x e pongo il delta uguale ad un quadrato perfetto

Altrimenti:
casi 2 e 3 a mano; poi, per $ p\geq 5 $ primo, si ha che $ p^2\equiv 1 \pmod 6 $
Quindi deve risultare
$ n-2\equiv n^6\pmod 6 $

impossibile (verificate )

Evvai!!

Condoglianze a ghilu se ha intenzione di fare un lavoro completo leggendosi tutte le soluzioni...

Volendo si può svolgere il prodotto, vedere che saltano fuori 2^n addendi, applicare AM-GM e, per simmetria, ogni $ a_i $ comparirà lo stesso numero di volte nella GM, cosicchè GM=1, da cui la tesi.

@Jacobi: ottima soluzione, non ci avevo pensato

Sì, giusto

Volevo proporre una mini generalizzazione:

$ (m+a_1)\cdot \ldots \cdot(m+a_n)\geq (m+1)^n $

ma dovrebbe venire automatica a questo punto.

Non so se sia già stato postato, comunque lo metto lo stesso. Dati $ a_1,\ldots,a_n $ reali positivi tali che $ a_1\cdot \ldots\cdot a_n=1 $, dimostrare che

$ (1+a_1)\cdot \ldots\cdot (1+a_n)\geq 2^n $

Buon lavoro

Penso che fosse sottinteso Altrimenti, come hai notato tu, il problema era piuttosto banale!

La mia soluzione è molto simile a quella di darkcrystal, ma leggermente diversa, quindi la posto (anche perchè mi ha bruciato sul tempo, l'avevo risolto ma per mancanza di tempo non l'ho postato :x :x ) Voglio dimostrare che gli insiemi \{1^2,3^2,...,(2^{n-2}-1)^2\} e \{1,9,...,2^{n}-7\} coincidono ...

Scusa, magari ho letto di fretta, ma forse intendevi
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{p-1}\binom pk \binom q{p-k} $
o sbaglio?

Comunque la divisibilità rimane lo stesso, quindi non cambia niente.

Bella soluzione comunque

Sì sì, è come dici tu. In generale quando si ha una "torre" di potenze, si parte da quella più interna, cioè quella più "alta". Per esempio
$ 2^{3^{4^{5}}}=2^{(3^{(4^5)})} $
e se ci pensi le parentesi sono come le scrivi in LaTeX

Solito ritardo da LaTeX (e da lentezza del computer)

PS in effetti serve che siano positivi...

Mi sembra semplice...anche dopo l'avvertimento :D :D Supponiamo wlog che x sia il massimo. Allora x^2+y^2+z^2\leq 3x^2 con uguaglianza sse x=y=z , e quindi \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{max\{x,y,z\}}= \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{x} \leq \frac{\sqrt{3x^2}}{x} =\sqrt 3 e l'uguaglianza vale appu...

Fantastico

Pig, l'hai pensato tu?

Ok, era solo per chiedere...non preoccuparti, non posto la soluzione...non vorrei commettere un infanticidio