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5.bis) se $f(a)=a$ allora in 3 sostituendo $x=a$ si ottiene $a^2\leq 0$ che e' vera se e solo se $a=0$ e poi concludo come nel punto 10. 9) Voglio utilizzare il fatto che $f$ e' limitata superiormente, quindi mi basta dimostrare che per qualche $x$ $f(x)$ e' grande a piacere. Per fare cio' prendo $...

Scusate per il titolo, ma non sapevo che scrivere :) Ecco il problema della staffetta (non ne avevo di migliori e ho messo questo). $\textbf{Problema 103}$: Dato $n$ un numero naturale, sia $x=\left|\left\{0\leq k \leq n \mid \displaystyle\binom{n}{k} \equiv 1 \pmod 3\right\}\right|$ e $y=\left|\lef...

se $p\neq 3$, allora sicuramente $3n+4$ è un sistema completo di residui modulo $p$, quindi non può essere sempre residuo quadratico questo è vero se $p\neq 2$.. completa e poi ti lascio mettere il prossimo Hai ragione... comunque per quanto detto, $2b+5$ e $3b^2-b-1$ sono quadrati. Considero modul...

E quindi g(m)[1-k(m)h(m)]=k(m)+1 . Se h(m)\neq0 \wedge k(m)\neq0 , allora RHS\leq 0 \wedge LHS>0 , quindi o h(m)=0 e quindi g(m+1)=1\forall m\in\mathbb{Z} o g(m)=1 \forall m\in\mathbb{Z} , in ogni caso f(m)=f(1) \forall m\in\mathbb{Z} . Da qui seguono le due tesi. Attento... Data una coppia di inte...

Concludo (spero!): Dei fatti precedenti qui riutilizzo che $b=3^k+1$, e che sono tutti quadrati. Ora scelgo $p>b$, prendo $n \equiv -1 \pmod{p-1}$ e ho che $x_n \equiv 3 + \dfrac{b^{n+1}-1}{b-1} + \dfrac{b^{2n}-1}{b-1} \equiv 3 + \dfrac{\frac{1}{b^2}-1}{b-1} \equiv 3 - \dfrac{b^2-1}{b^2(b-1)} \equiv...

Inizio scrivendo che $\underbrace{11\cdots1}_{n - 1}\underbrace{22\cdots2}_{n}5 = 3+\dfrac{b^{n+1}-1}{b-1}+\dfrac{b^{2n}-1}{b-1}$. Se $b=10$ è semplice verificare che $3+\dfrac{10^{n+1}-1}{9}+\dfrac{10^{2n}-1}{9} = \left(2+3\dfrac{10^n-1}{9}\right)^2$, e quindi se $b=10$, $x_n$ è un quadrato per ogn...

Forse l'esercizio è questo: $a-b|ac+bd \Leftrightarrow a-b|ad+bc$. Giusto?

Vista la dimostrazione di sopra del 4., in generale si può scrivere che se $x$ è il più piccolo indice tale che $p|F_x$ e $p|F_{x+1}-1$, allora sia $a=min(v_p(F_x),v_p(F_{x+1}-1))$: si ha che $\pi(p^a)=\pi(p)$ e $\pi(p^{a+1})\neq \pi(p^a)$, ovvero $\pi(p^{a+1})=p\pi(p)$ e in generale, poiché a parti...

Boh, accontento dario2994. Avendo $F_p \equiv 5^{\frac{p-1}{2}} \pmod p$, se $p \neq 2$, Allora $F_p^2 \equiv 5^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. Quindi sicuramente $F_p^3 \equiv F_p \pmod p$, poiché $p|F_p^2-1|F_p^3-F_p$. $p=2$ si verifica a mano. Ora passo al punto 4. Utilizzerò una formula che è stata pro...

Metto due soluzioni al punto 3, una più bella e una più contosa (stavo scrivendo quella contosa e mi è venuta quella bella) :D Innanzitutto verifico la tesi per $p=2$, così posso supporre $p$ dispari. Per $p=2$ si ha $\pi(2)=3|6$ e quindi ok. Ora vale ancora $F_p \equiv 5^{\frac{p-1}{2}} \pmod p$ pe...

Risolvo per ora 1 e 2, perché devo scappare :). Considero per ogni $h\geq 0$ la coppia $(f_h,f_{h+1})$ modulo $p^k$. Di queste coppie ce ne possono essere al massimo $p^{2k}$. Ora considero i primi $p^{2k}+2$ numeri di fibonacci modulo $p^k$. Prendendoli a coppie come ho indicato all'inizio ho $p^{2...

Qualche commento... nel punto 5) non consideri il caso $f(a)=a$ che non ti fa concludere nulla sul segno di $1-f(f(a))$, ma si esclude facilmente. Poi potresti ripetermi il punto 9? Sarà l'ora tarda (e il mio cervello che si rifiuta ) ma non sono riuscito a seguirlo.

La soluzione dovrebbe essere giusta, se nabir albar è d'accordo, io farei continuare la staffetta

--- Caso 1: $f(f(0))=0$. Ponendo $x=0$ nella disuguaglianza originale si ottiene $f(y) \leq yf(0) \quad (9)$. Con $y=0$ in quest'ultima si ha $f(0) \leq 0$. Divido due casi: -Sottocaso 2: Se $f(0)<0$, per ogni $c\geq 0$ si ha $f(c) \leq cf(0) \leq 0$ sostituendo $y=c$ nella $(9)$. Ora suppongo che ...

Questo esercizio mi ha fatto penare e non poco... :D Comunque spero che sia giusta la soluzione che segue. Ricavo qualche fatto che sarà utile: -Con $y=0$ si ottiene che per ogni $x$ reale $f(x) \leq f(f(x)) \quad (1)$. -Con $y=f(x)-x$ si ottiene che per ogni $x$ reale $[f(x)-x]f(x) \geq 0 \quad (2)...