OliForum Matematico

Nonno Bassotto ha scritto:Mi sfugge un po' il senso di proporre la dimostrazione di un teorema noto in MNE...

Un teorema è noto solo per chi lo sa già! Per gli altri, è utile vederlo.

Bella Francesco! Riciclare la dimostrazione di Eulero è esattamente ciò che avevo in mente. Già che ci sono, svelo anche la fonte. Proviene dalla sezione problemi di "An Introduction to the Theory of Numbers" di Leo Moser, pagina 75, problema 11. Come chi ha il libro può verificare, gli es...

L'idea è giusta e può essere portata a compimento se specifichi bene alcune cose. Per esempio anche in \displaystyle \prod_{n=5}^{\infty} \frac{n-1}{n} gli n-1 a numeratore si semplificano con gli n al denominatore tranne il primo; eppure la produttoria non fa 4 . Detto chiaramente, ti resta da fare...

Pensavo toccasse a te proporlo. A ogni modo, ecco il Problema 40 Dimostrare che \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n!} converge. Dimostrare che \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n!} è irrazionale. Ps: l'ho appena preso e non ho una soluzione già pronta. A dire il v...

Entrambi i membri sono moltiplicativi e per ogni potenza di primo la relazione è valida. (Comunque c'era già, try again :wink: ) Era per abbassare un po' il tiro. Ps. avevo perso quella discussione su Scimat!! comunque quella produttoria mi era venuta risolvendo il tuo esercizio :o Ci credo bene ch...

Lol! :lol: Chiedi di evitare soluzioni che ricorrano a \zeta(\cdot) e metti un problema che come soluzione ha \displaystyle \frac{\zeta(4)}{\zeta^2(2)}=\frac{2}{5} (non è un caso che la soluzione sia uguale al reciproco di quella del mio)! Poi l'own è tutto da vedere... click . :lol: Per chi non ave...

Dimostrare il Teorema di Lyusternik-Schnirelmann.

Se una sfera è coperta da tre insiemi chiusi, allora uno di essi deve contenere una coppia di punti antipodali.

FeddyStra ha scritto:Punto C.
Un satellite copre meno di una semisfera. Due satelliti, quindi, lasciano due punti antipodali non coperti. Il terzo satellite non può coprirli entrambi.

Curiosità!

Io voglio scoprire chi è che si è creato questo account!!

No, non significa necessiamente che sono fissati: ti indica piuttosto il dominio a cui appartengono. Ulteriori precisazione vengono eventualmente apposte in seguito. PK intendeva che la frase "Abbiamo etc." è ambigua nel senso che può far pensare che i numeri ci vengano forniti da terzi e ...

Verifica l'equazione se $ a $ è scelto opportunamente (ovvero è rispettivamente $ -3 $ o $ 5 $).

Se con $ \infty $ intendi $ 0 $, sì. Comunque, dopo la risposta, una dimostrazione ci starebbe meglio della faccina ":P"!

Sbagli: la risposta è $ 2/3 $.

Per renderti conto del fatto che il tuo ragionamento non è corretto, considera il prodotto $ \displaystyle \prod_{k=1}^{\infty} \left( 1-\frac{1}{p_k^2} \right) = \zeta(2)^{-1} = \frac{6}{\pi^2} $.

Semplicemente, sviluppi a tratti i valori assoluti e ottieni
$ \displaystyle ||x-1|-4|+x=\begin{cases}-3 & x\le-3 \\ 2x+3 & -3\le x\le1 \\ 5 & 1\le x\le5 \\ 2x-5 & 5\le x \end{cases} $
Dopo di che osservi che per $ x\le-3 $ e per $ 1\le x\le5 $ la funzione è costante.

Problema 36
Calcolare $ \displaystyle \sum_{(a,b)=1} \frac1{(ab)^2} $, dove la somma è estesa a tutte le coppie di naturali coprimi.