OliForum Matematico

Non ricordo bene i calcoli, ma mi sembra che venisse ${2\over{2014}}$

Ti do due suggerimenti, non so quanto possano aiutarti però.
Hint 1: Hint 2:

Sapendo che $ f(1)=2013 $ e che $f(1)+f(2)+...+f(n)=n^2f(n)$ con $ n>1 $, calcolare $ f(2013) $.
P.S spero di non averlo copiato erroneamente dal forum.

Non ho sbagliato il testo, semplicemente l'ho proposto con $ n^4 $. E' la stessa cosa alla fine. Bene Kalu

Mi aggiungo ai complimenti

Trovare tutti gli interi positivi $ a $ e $ b $ tali che esistano tre interi consecutivi in cui il polinomio $ p(n)= \frac{n^4+a}{b} $ assume valori interi.

Trovare tutte le soluzioni intere di:
$ (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 $

Scusa ho sbagliato, inizialmente il testo voleva essere $ (1+{1\over{a}})(1+{1\over{b}})(1+{1\over{c}})=d $, ma era già un aiuto..

Trovare tutte le soluzioni intere positive $ a,b,c,d $ di:

$ (a+1)(b+1)(c+1)=abcd $

$ (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(x+z)(y+z)=0 $. Quindi le soluzioni sono date da $ x+y=0 $, $ x+z=0 $ o $ y+z=0 $.

$ y=x^{2007\over{x}} $, visto che $ 2007=3^2\cdot{223} $..

Si come dice Ido, la soluzione c'è, il suo hint è tra l'altro la soluzione direttamente . Comunque si tratta sempre di far stare il polinomio fra 2 quadrati e vedere i valori in mezzo detto grezzamente..

Secondo voi quest'anno la gara era più facile o più difficile? (Secondo me i dimostrativi di quest'anno erano più difficili)

$ 2^{29}=(2^{6})^{4}\cdot{2^5}\equiv 5 \pmod 9. $ Chiamo $ x $ la cifra mancante. Allora $ \Delta 9 - x \equiv 5\pmod 9 $$ \rightarrow $ $ 45-x\equiv 5 \pmod9. x=4 $

Il tuo hint è sostanzialmente la soluzione credo