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Ok! Solo un piccolo appunto, siccome hai preso i valori assoluti mi sembra che tu sappia solo $c \equiv \pm l d \pmod {k}$, ma tanto subito dopo elevi al quadrato, quindi in effetti il segno non è un problema. Ora aspettiamo i volenterosi!

Un primo suggerimento potrebbe essere il seguente: per ipotesi la funzione è surgettiva, e tu hai dimostrato che è iniettiva, quindi è una bigezione. In particolare puoi considerare $f^{-1}$, e usarla per estendere la tua successione $a_n$ ad indici $n<0$ (per esempio, $a_{-1}=f^{-1}(x)$...). Un sug...

Fino al punto 2 sono d'accordo. 3. \forall x \exists! k un numero tale che f(f(x))=k e f(x)=\frac{2xk}{x+k} ( * ) e questo numero è x Da 1. ottengo che f(f(x))=k=\frac{xf(x)}{2x-f(x)} \iff xf(x)=2xk-f(x)k \iff f(x)=\frac{2xk}{x+k} . E' da ricordare che k è unico perchè f è iniettiva. Beh, l'unicità ...

Uhm, è troppo difficile? Vi lascio qualche aiutino... Usare un'opportuna variante del lemma di Thue per mostrare che esistono $a,b$ e $k \leq 6$ tali che $a^2+6b^2=kn$ I casi $k=1,4,6$ sono facili (congruenze). I casi $k=2,3,5$ non succedono, ma bisogna dimostrarlo. Consideriamo $k=2$, per dire. Se ...

Ooook, dicevamo... queste: [...] $$a^2+6b^2=z+1$$ Dalla prima si trova $z=-6b^3+3a^2b$ [...] sono le affermazioni cruciali per cui abbiamo usato la versione 2.0 di $\mathbb{Z}[\sqrt{-6}]$ (quella a fattorizzazione unica). La prima affermazione è leggermente più facile, e prepara il terreno per la se...

(Quasi) molto bene! Per semplificarti un po' la vita, nota che se $\sqrt{-6}$ divide $D$, allora divide $y$, da cui (prendendo le norme) $6|y$, quindi in particolare $y$ è pari, $x$ è pari, e questo è assurdo modulo 4. In questi giorni sono occupatissimo (sto praticamente subendo uno stage Senior, c...

Allora, (quasi) bene la parte 1, hai solo un errore di segno alla fine (dovrebbe essere $y^2+6(x+1)^2=(x+2)^3$). Meno bene la parte 2: dall'equazione $(y-j(x+1))(y+j(x+1))=(x+2)^3$ hai dedotto che il fattore $y-j(x+1)$ deve essere uguale a 1, $x+2$, $(x+2)^2$ o $(x+2)^3$: ma questo è già falso negli...

Avendo fatto la pirlata di dare a qualcuno la diofantea del titolo senza avere una soluzione elementare, ho passato una frazione non trascurabile degli ultimi giorni a produrne una (e con una certa fatica, devo ammettere). Scopo di questo thread è condurvi a questa soluzione, che - ripeto e prometto...

Unità. Vedo che usi (correttamente) il termine "anello"; per chi non fosse a proprio agio con questa parola, ai nostri fini un anello è semplicemente un insieme dove hanno senso moltiplicazione e addizione, e si comportano esattamente come ci si aspetterebbe (unica richiesta non ovvia: pe...

C'è una soluzione perfettamente elementare, che non usa praticamente niente ed è anche abbastanza semplice. Anzi, per come l'ho fatto io mi sembra che $2^{n/4}$ si possa migliorare (almeno) in $2^{n/3}$... Aiutino: Cosa succede se prendiamo tutti gli elementi di S "grandi"? Per esempio cos...

Carissimi, ormai è passato un po' di tempo e quindi tutti avrete avuto modo di risolvere questo problema (vero?). Mi sembra quindi il momento giusto per mandarvi non una soluzione, ma un "problem solving ad alta voce", cioè un transcript di quello che ho pensato mentre risolvevo questo ese...

Posso garantire a nome di chiunque correggerà i problemi di ammissione di TdN [cioè probabilmente io ] che queste proprietà si possono dare per scontate! Anche perché altrimenti le vostre dimostrazioni comincerebbero a richidere varie pagine di preliminari...

Immagino non freghi più niente a nessuno, ma (avendo del tempo da perdere) dovrei aver dimostrato che il grado minimo è effettivamente 13. Non sarei in grado di farlo senza un computer, ma comunque... in due parole, uno scrive il sistemone lineare che impone le condizioni del post di Sam, e scrive l...

In bocca al lupo ragazzi, fategliela vedere! E cominciate ad imparare un po' di tailandese: ขอให้โชคดี!

1. Trovare una formula chiusa per la somma $ \displaystyle \sum_{k=0}^n {2k \choose k} {2(n-k) \choose n-k} $ (ricordo che $ {0 \choose 0}=1 $)
2. Dimostrarla
3. In caso non sia già successo al punto 2, trovare una dimostrazione completamente combinatoria.

Bonne chance !