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Sia P_5 il grafo di Petersen. Un grafo non orientato si dice V-conservativo su un campo \mathbb{K} se esiste una funzione F:V(G)\longrightarrow\mathbb{K} tale che per ogni v\in V(G) : \displaystyle \sum_{w\in N(v)}F(w)=0 Dove N(v) indica i vertici adiacenti a v (incluso). Per quali campi finiti P_5 ...

Altro modo, senza ricorrere alla costruzione equivalente: Poiche' P_5=\overline{L(K_5)} si ha: Aut(P_5)\cong Aut(\overline{L(K_5)})\cong Aut(L(K_5))\cong Aut(K_5)\cong \mathbb{S}_5 Dove: L(G) indica il line graph, o duale per archi, di G ; inoltre si sono usati i risultati: Aut(\overline{G})\cong Au...

lol...
Comunque, per rassicurarvi, il gruppo di autmorfismi non ha una costruzione "strana"...

Ok, ci sono. Misunderstanding.

Per ogni $ n $?
A parte gli scherzi, penso che la domanda sia da sistemare....

In effetti mi rendo conto che il seguente risultato possa sembrare uscire dal nulla...
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\binom{2k}{k}^{-1}=\left.2\left(\arctan\sqrt{\frac{t}{4t-1}}\right)^2\right|_{t=1}=\frac{\pi^2}{18} $
Ma mi piace tantissimo la soluzione con la funzione Beta!

A me vien diverso... altrimenti si potrebbe creare una bigezione tra l'insieme che ha 1 e 2 nello stesso ciclo e l'insieme a questo complementare...
Prova a ricontrllare...

Niente, mio errore di sbaglio nella digitazione...

Domani mattina postero' la mia soluzione.
Intanto sotto con le soluzioni!

Ok, so cosa intendi e sono quelle per risolvere in modo standard questo tipo di problema. Ma senza di quelle?

Un buon numero di valutazioni positive direi.... :D Avevo in mente di dividere il libercolo in sezioni, in ogni sezione un trucchetto oppure un teorema (di quelli base, che possono sempre tornare utili) con esercizi; con una piccola appendice sulla teoria dei grafi. Per ora i capitoli che sto partor...

Un problema ormai classico in combinatoria...
Trovare il gruppo di automorfismi del grafo di Petersen.

Dimostrare che:
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\binom{2k}{k}^{-1}=\frac{\pi^2}{18} $
Caruccia, no?

Dimostrare che:
$ \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\sin(kx) = 2^n \sin\frac{nx}{2}\left(\cos\frac{x}{2}\right)^n $
e che:
$ \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}\sin(kx) = (-2)^n \sin\frac{n(x+\pi)}{2}\left(\sin\frac{x}{2}\right)^n $