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Poniamo \(n= \prod_{i=1}^k p_k^{\alpha_k} \). Per ogni \(p_i \neq 2 \), definiamo \(r_i = \sum_{j \neq i} V_{p_i} ( p_j-1) \). 1.Notiamo che \[ \prod_{i=1}^k p_i^{r_i} < \prod_{i=1}^k (p_i-1) \] da cui \[ \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i + r_i} < \varphi(n) P(n) < \varphi(n)^3\] dove \(P(n) = \prod_{p \m...

Per ogni \(p\), siano \(0 \le a < b < p\), e siano \( A= \{ kp+a: 0 \le k < p\}, \ \ B= \{ kp+b: 0 \le k < p\} \). Consideriamo \(S= A \cup B\). Visto che sono disponibili solo 2 resti mod \(p\) (namely \(a,b\) ), tutte le somme dei sottoinsiemi di \(S\) con \(p\) elementi saranno della forma \( T_m...

Bene, mi avete scoperto! Ero partito dal momento d'inerzia. Ma mi sono accorto di aver chiesto una cosa un po' diversa! Fa niente, mi ha interessato comunque la risposta :D Effettivamente il quesito sarebbe dovuto essere il seguente. Sia \(G\) il baricentro di una certa figura ignota \(S\). Se, per ...

OT: si, io lo faccio anche con \ [ .. \ ], che è uguale. Si può in ogni caso fare anche inline dentro a \ ( ... \ ), inserendo il comando \displaystyle. Per esempio E poi con la sommatoria \[ \frac{c}{d} \sum_a^b\] si trovano i fiumi di [...] -- E poi con la sommatoria \( \frac{c}{d} \displaystyle \...

Intanto posto una soluzione parziale per "quelli che vanno bene": Parte 1: quelli razionali sono equilibrati. Se \(k\) è razionale, allora \(S_k(n)\) è bilanciata. Poniamo \( k:= \frac{a}{b} \): visto che per un certo \(n\) il numero \( n \pi \frac{a}{b}\) è multiplo di \(2 \pi\), esiste u...

Niente, l'avevo pensato io, ispirato dal caso \(n=1\) (che in realtà si fa molto più velocemente a mano).

Sia \(S\) una superficie chiusa nel piano. Insomma, sicuramente qui dovrei usare questi termini con le pinze: visto che non ne so nulla, intendo dire una..macchietta, per capirci. Sia \(d(A,B)\) la distanza tra i due punti \(A,B\). Definiamo, con una notazione un po' fantasiosa (spero comprensibile)...

Bene! La mia è molto simile

Sia \(p\) un primo della forma \(6n + 1\) tale che \(p +1 \equiv 0 \pmod{8}\). Dimostrare che
\[ x^{2n} + y^{2n}+z^{2n} \equiv 0 \pmod{p} \]
se e solo se
\[ x^{4n}+y^{4n}+z^{4n} \equiv 0 \pmod{p} \]

Forse intendeva \(a, p-a\) ..?

Siano \(n,k \in \mathbb{N}\) e sia \(p\) un primo tale che \( (k,p-1) = 1\). Infine sia \(m = \frac{(p-1)}{\gcd(n,p-1)}\). Scegliamo \( m\) numeri \(x_1, \ldots, x_m\) non divisibili per \(p\) tali che \( x_i^n \neq x_j^n\) per ogni \(1 \le i < j \le m\). Dimostrare che \[ x_1^n + \ldots + x_m^n \eq...

Dai a sto point rispondo :D Oss. 1: per fare \(m\) giri, dobbiamo caricarci \(m b_g\) kg di benzina. Per fare l'\(i\)-esimo giro, avremo \( (m+1-i)b_g\) kg di benzina a bordo, per un tempo di \( (m+1-i) b_g t_b\) in più. Sommando per tutti gli \(i\) da \(1\) a \(m\) abbiamo \[ T(m) = \sum_{i=1}^m (m...

Daje! L'idea è proprio quella! La formula generale che ho scritta è esattamente questo discorso scimmiottato per una ricorsione generale. Per la formalizzazione: 1. Se ti senti vecio induzione funge sempre (pure se è un po' scomodo il fatto che \(n\) è pari al LHS, forse dovresti trovare qualcosa pe...

Chi prova quella inziale?

Dimostrare che per ogni polinomio \(p(x)\) di grado \(m\) esistono \(c_1, \ldots, c_m\) (unici) tali che \[ \sum_{k=0}^N p(k) = \sum_{j=0}^m c_j \binom{N+1}{j+1} \] per ogni \(N \in \mathbb{N}\). Mostrare inoltre un metodo per trovare i \(c_i\). Nota. Perchè questo fatto utile? Perchè il numero di t...