OliForum Matematico

13.2. Siano $a=\frac{2x}{y},b=\frac{2y}{z}$ e $c=\frac{2z}{x}$ con $x,y,z>0$. Allora $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}} \geq \frac{4}{3}\iff\sum_{cyc} \frac{x^2z^2}{\sqrt{yz(y^3+8x^3)(z^3+8y^3)}} \geq \frac{1}{3}\iff$$$$\sum_{cyc} \frac{x^2z^2}{\sqrt{yz(y+2x)(y^2+4x^2-2xy)(z+2y)(z^2+4y^2...

9.3. Chiamiamo $y_i=\frac{x_i}{2017}>0$ e $z_i=\frac{1}{y_i+1}>0$, da cui $y_i=\frac{1}{z_i}-1$. La condizione diventa $$\frac{1}{y_1+1}+\frac{1}{y_2+1}+...+\frac{1}{y_n+1}=z_1+z_2+...+z_n=1$$ mentre la tesi è equivalente a $$\sqrt[n]{y_1\cdots y_n}\geq n-1$$ Consideriamo la funzione $f(x)=\ln\left(...

Sì, ho corretto

5.3. Sia $P(x,y)$ la funzionale. Da $P(1,x)$ si ha $$f(f(x)+f(1))=2f(1)+x$$ da cui $f(x)$ è bigettiva. Sia $a$ tale che $f(a)=0$, da $P(a,a)$ si ha $$f(0)=a^2$$ Da P(a,0) si ha $$f(a^3)=0=f(a)\Rightarrow a^3=a\Rightarrow a(a^2-1)=0$$ Se $a=0$, da $P(x,0)$, ponendo $f(x)=z$, ottengo $$f(f(x))=2f(x)\R...

Ne provo un paio. 2.1. Notiamo prima di tutto che il coefficiente direttivo è positivo (se non lo fosse, $P(x)$ sarebbe negativo per $x$ arbitrariamente grande). Dimostriamo prima la tesi nel caso in cui $P$ non abbia radici reali, dato che $z$ è una radice complessa di $P$ se e solo se lo è anche $...

Federico II ha scritto: ↑10 set 2017, 15:35 - #PitroneAlleIMO :jinx:

Grazie per "l'augurio" comunque vorrei ricordarti che c'è un'altra persona che sarebbe dovuta morire a lupus per essersi ripetutamente dimenticata di dire "pota alle imo" per poi essere salvata da un compassionevole master

Fissato un $p$ primo siano $x:=v_p(a), y:=v_p(b)$ e $z:=v_p(c)$ e supponiamo $x\geq y\geq z$, allora si ha $$v_p(\dfrac {mcm (a,b) mcm (b,c) mcm (c,a)} {mcm(a,b,c)^2})=2x+y-2x=y\geq 0$$e$$v_p(\dfrac{MCD(a,b) MCD (b,c) MCD(c,a)}{MCD (a,b,c)^2})=2z+y-2z=y\geq 0$$ sono quindi interi e coincidono.