OliForum Matematico

abc ha scritto: Allora M divide almeno uno tra $ \frac{n}{p} $ e $ \frac{n}{q} $.

solo un piccolo appunto, dato che questo fatto (e così quello che segue) non è così vero...

ah, ok, nella disuguaglianza originale (che cmq trovi in un topic poco distante) si ha a,b,c reali positivi a somma 3.

in realtà è sempre la stessa disuguaglianza, ma questa soluzione penso meriti un topic tutto per sé: :D infatti moltiplicando il moltiplicabile, semplificando il semplificabile e omogenizzando l'omogenizzabile si ottiene che $ \frac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}+a^{2}}\l...

ok, se ho capito quello che vuoi fare stai considerando la funzione f(x)=\frac{1}{2+x^n} . bene, questa è concava per x\leq\sqrt[n]{2(\frac{n-1}{n+1})} , ma d'altra parte abbiamo che x^n+y^n+z^n \geq 6 quindi almeno uno di essi sta fuori dall'intervallo di concavità. e poi cmq ne sarebbe fuori anche...

ma nel senso che cambi funzione?? perché se considero la funzione f(x)=\frac{1}{2+x^2} , allora anzi, per x+y+z\geq 3\sqrt{2} (come nel nostro caso) vale al contrario \displaystyle \frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}\geq f(\frac{x+y+z}{3}) (e questo perché se a \geq \sqrt{2} allora la tangente a f nel punto di...

bah, dopo aver sbagliato già una volta i conti questa volta la tesi dovrebbe veramente essere equivalente a
$ (a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b))^2 \geq 0 $

C'è qcs che mi sfugge.. la funzione $ y=\frac{1}{1+x^2} $ è concava se $ x\leq\sqrt{\frac{1}{3}} $ o sbaglio??
e la funzione $ y=\frac{1}{2+x^2} $ (l'altra candidata plausibile per concavità) è concava se $ x\leq\sqrt{\frac{2}{3}} $
mmm, immagino mi manchi qualche pezzo..

non per mettere fretta, ma dato che è stato rispolverato questo topic vecchio di due mesi, magari sarebbe bene lasciare una soluzione ai posteri prima che cada definitivamente nel dimenticatoio! :) non è un problema facile, lo riconosco, quindi ingrandisco un po' gli hint: -per la "soluzione 2&...

beh, ma perché una funzione sia concava serve che la sua derivata prima sia decrescente, o in modo equivalente, che la sua derivata seconda sia minore di 0. Nel tuo caso invece hai solo fatto vedere che la derivata prima è minore di 0, che però non serve a nulla per valutare la concavità di una funz...

uh, qualcuno alla fine ha risposto! Mi ero già quasi dimenticato di aver postato questo problema! :o Beh, di approcci ovvi io non ne ho trovati, conosco tre soluzioni (due che ai tempi avevo trovato io, un'altra poi me l'ha detta Giove) completamente diverse tra di loro e che richiedono tutte in ogn...

uh, non sapevo, grazie mille della precisazione!

Premetto che non è molto tempo che mi muovo tra numeri algebrici e cose correlate, comunque io intendevo che a è uno zero di un polinomio a coefficienti razionali di grado n ma di nessun polinomio a coefficienti razionali di grado minore. Comunque sì, il problema è semplice, ma l'enunciato è di per ...

Sia a un numero algebrico di ordine n e sia p(x) un polinomio a coefficienti razionali di grado n tale che p(a)=0 . Siano ora x_2, x_3, ... , x_n le altre radici di p(x) : dimostrare che se q(x) è un qualsiasi polinomio a coefficienti razionali tale che q(a)=0 allora vale anche q(x_i)=0 per ogni i=2...

Siano a,b,c reali positivi tali che $ a+b+c=3 $. Dimostrare che
$ $ \frac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{2+c^{2}+a^{2}}\leq\frac{3}{4} $ $

(@ francesco, filippo e edoardo...)
x trovarci direi domenica a porta nuova davanti al binario (quello giusto) alle 8.45, ok? ci vediamo, allora, ciau!