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Sia ABC un triangolo. La tangente alla circonferenza circoscritta di ABC in A incontra BC in D. Sia $l$ una retta che incontra AD internamente in P, la circonferenza circoscritta di ABC in Q e T, i lati AB e AC internamente in R e S rispettivamente e BC in U. Supponiamo che PQRSTU si trovano in ques...

Ok ora mi è evidente xD pardon basta prendere i triangoli AHD e JJ'D che sono simili e i triangoli A_0HD e JI_aD che sono simili solo se lo sono i precedenti xD

BC credo. Però bo non mi pare cosi evidente questo fatto...

scambret ha scritto:

mat94 ha scritto:Bhe ABC è il triangolo ortico di $I_aI_bI_c$ quindi quelle tre rette concorrono nel circocentro di $I_aI_bI_c$.

Intendevo che in questa tua riga, per me c'è angle chasing su angle chasing

Se vedi la mia soluzione non mi pare ci sia molto angle chasing xD

Dimostro il tuo hint: Chiamo J il punto di tangenza dell'A-excerchio con BC e J' il suo punto diametralmente opposto (sempre all'interno dell'A-excerchio). La tangente per J' è parallela a BC e questa incontra AB in B' e AC in C'. I due triangoli ABC e AB'C' sono omotetici con centro di omotetia A. ...

Non ho mai voluto imparare ad usarle proprio per questo motivo ahahahahah

in quella riga io ho messo 6 di scrittura fitta fitta Che significa ? XD Lol io ho fatto fare un po' di conti a WA... xDD Cos'è WA? Sia ABC un triangolo e DEF il suo triangolo pedale ( D su BC, E su AC e F su AB), prendo il circocentro O e lo congiungo con i vertici. Ora chiamo x l'angolo $\angle{A...

Bhe ABC è il triangolo ortico di $I_aI_bI_c$ quindi quelle tre rette concorrono nel circocentro di $I_aI_bI_c$.

Chiamo $I_a,I_b,I_c$ i centri delle circonferenze exscritte a ABC. Per prima cosa noto che $A_0$, D, $I_a$ e ciclici sono allineati (lo devo ancora dimostrare non è che potresti darmi un hint :? ), quindi basta dimostrare che $DI_a$ e ciclici concorrono. Ma ciò si vede facilmente dal fatto che DEF e...

Siano $v_i$ i vertici con i=1,..,7. Definisco angolo monocromatico l'angolo $\angle{v_iv_jv_k}$ se $v_iv_j$ e $v_jv_k$ hanno lo stesso colore. È facile dimostrare che per ogni vertice ci sono almeno 6 angoli monocromatici per un totale di almeno 42 angoli monocromatici. Sia k il numero di trangoli ...

Si scusa è che avevo fatto una considerazione che non andava e non ho avuto molto tempo per pensarci (maledetta maturità!). Vedi tu

Si scusa ho letto male il testo e avevo disegnato R,S come punti di tangenza :( Comunque questa circonferenza passa per X e Y e I dato che Q è il punto medio dell'arco AB (quindi X sta su RQ , Y sta su SQ e I su PQ). L'inversione di centro Q e raggio QA manda AB in $\Gamma$ , quindi C va in P, il ch...

Passa per A,B,S,R ?

Si ok ho saltato la suriettività della funzione. Per fare questo sostituisco y=-1 e ottengo $f(x-f(x))=f(x)+x$, il che ci dice che f(x) è suriettiva e in particolare anche -1-f(x) è suriettiva.
Può andare?

Bhe a questo punto hai due possibilità f(-1)=1 e f(-1)=-1.
Per x=-1 ottieni:
$f(-1-f(-1)f(y))=f(-1)-f(y)$
Se f(-1)=-1 sostituisci e ottieni f(x)=x che è soluzione.
Se f(-1)=1 sostituisci e ottieni f(x)=x che è soluzione.
Insieme a f(x)=0 si hanno tutte le soluzioni,