OliForum Matematico

Naah, non gredo. Tipo prendiamo \(a_i = 2^{i-1}\). A sinistra abbiamo \(2\) elevato alla \[ S_1 = \sum_{k=1}^{n-1} (k-1) 2^k + n \ge \sum_{k=2}^{n-1}2^{k} = 2^n - 4\] mentre a destra abbiamo \(2 \) elevato alla \( S_2 =n(n-1)/2\), tutto fattoriale. La valutazione duadica di destra è (perchè?) \[ S_3...

Fissiamo un intero \(n \ge 2\). Sulla lavagna ci sono scritti gli elementi di un certo insieme finito \(A\) di naturali. Possiamo fare solo una mossa: se troviamo un sottoinsieme \(S\) tale che la somma dei suoi elementi è divisibile per \(n\), allora possiamo cancellare un elemento a nostro piacime...

Aetwaf, la soluzione è corretta. Ma c'è più della correttezza in una soluzione! Cerca di farla bella, insomma, hai una cosa interessante tra le mani, non te la bruciare con frasi lapidarie e confuse! Prova a fare delle frasi complete, a far capire con la struttura della dimostrazione dove vuoi arriv...

Definizioni. Dati un gruppo \(G\) e una \(n\)-upla ordinata di numeri interi \(A = (a_1, \ldots, a_n)\), siano: \(\displaystyle \mathcal{P}_n(G) = \{ (x_1, \ldots, x_n): x_i \in G, \ \ \forall i,j \ \ x_i \neq x_j \}\), dove si intende che \( (x_1, \ldots, x_n)\) è una \(n\)-upla ordinata; \( \disp...

Mmm, a me pare di aver dimostrato che modulo 29 faccia 6, e questo programmino (che su tutti gli altri primi \(\ge 11\) da 0) pare confermarlo! :( https://drive.google.com/file/d/0BzYQj6I3yxOkOVJYU2dJTkgxbVU/edit?usp=sharing Questo è il sorgente, per chi (giustamente!) volesse verificare che io non ...

Caratterizzare i numeri \(n \in \mathbb{N}\) tali che \( \varphi(n) \mid n\) (easy!).

Mmm... ma se tipo dicessi che applico il lemma qui ( e stavolta si può applicare) http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f=15&t=19011 con \( \mathbb{K} = \mathbb{Z}_p\), \( G= \mathbb{Z}^*_p\) \( \displaystyle q(G) = \sum_{a,b,c,d \in G \mbox{ distinti} } a^5b^6c^8d^9 \) ? Visto che \(\lambda(p) =...

Ritornando in terre più conosciute, una tecnica simile può comunque risolvere una parte del problema. Supponiamo \(p \ge 3\). Siano: 1. \( D_{m} = \{ x \in \mathbb{Z}: \ \ 0< x < m, \ \ (x,m) = 1\} \) 2. \( \displaystyle S_{n,p} (D_{p^n} ) = \sum_{X_{np} \subseteq D_{p^n} } \prod_{x \in X_{np} } x^2...

Eh si, non c'è niente da fare. Nella dimostrazione ho usato l'invertibilità, perchè mi serviva che \(a \cdot b = 0 \Rightarrow a=0 \ \lor \ b=0\). Per aggiustarlo ad un anello (ma quindi fammi un po' capire: un campo è un anello in cui tutti gli elementi hanno un inverso moltiplicativo? Niente più, ...

<enigma>: scusami, ero certo di aver fatto un papocchio con la notazione! Aspettavo qualcuno che giungesse a correggermi! Comunque, rispondo in ordine: 1. Sì. 2. Daje, fico! Adesso me lo leggo :) 3. Ah, io mi ricordavo solo il tondino fico. Quello che intendo è: se \( G= H \otimes K\), allora \(G\) ...

Rendiamo le cose un po' pulite (e generali). polinomi-simmetrici.pdf Il problema segue scegliendo: 1.\(\mathbb{K} = \mathbb{Z} / p^n \mathbb{Z} \) (si dirà così? Bah); 2. \(G = \{ a \in \mathbb{Z} / p^n \mathbb{Z}: \ \ (a,p^n) = 1 \}\); 3. \(\displaystyle q(G) = \sum_{ x_1, \ldots, x_{np} \in G} ( x...

Rilancio con un il seguente fatto, che equivale al tuo per \(r=m=p^n, k=2, n= np\) (a parte il caso \(n=(p-1)/2\)). Fissiamo quattro interi positivi \(r,m,n,k\), tali che \(m \mid r\) e che \( p-1 \nmid nk\) per ogni \(p \mid m\). Definiamo: 1. \(A_r = \{1, \ldots, r\} \); 2. \(X *m = \{x \in X: \ \...

Altra dimostrazione, che ricalca quella di Wilson (e forse è un po' più lineare). Sia \( S= \{1, \ldots, p^2 \}\) e sia \(S_n = \{ \ \ \{a_1, \ldots, a_n\}: \ \ \forall i,j \ \ a_i \neq a_j, \ \ \forall i \ \ a_i \in S\}\). Infine sia \(g\) un generatore \(\pmod{p}\). Consideriamo \[ \sigma_n = \sum...

Ok, riguardiamo un attimo \(r(x)\) nella forma \[ r(x) = (1+x)(1+2x) \cdot \ldots \cdot (1+(p-1)x) \] Per ogni \(y \in [1, p-1] \), sia \( y': \ \ y y' \equiv -1 \) (c'è sempre? Si, dai). Allora \[ r(y) = ... \cdot (1+y' y) \cdot ... \equiv 0 \pmod{p} \] Invece \(r(0) = 1\). C'è un altro polinomio c...

Intanto una dimostrazione stuzzichina per \(n\) dispari. Il caso pari ancora nulla :P Consideriamo il polinomio: \[ r(x) = \prod_{k=1}^{p^2} (1+kx) \] Allora \( [x^n] r(x) \) è esattamente ciò che cerchiamo. Visto che ci interessa solo il coefficiente \(\pmod{p}\), valutiamo \(r(x) \ \pmod{p} \): \[...