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Sì, era proprio quello che intendevo

Ti consiglio di fare nella $(1)$ un ragionamento sulla parità dei due fattori $(k+n)$ e $(k-n)$. Intendo dire ad esempio: se $k$ è pari e $n$ è dispari come sono i fattori (sempre ragionando sulla parità)? Così ti accorgerai che qualcosa va corretto.

Puoi vederla come progressione geometrica di ragione $k$.
La somma vale quindi:
$$\frac{k^{n+1}-1}{k-1}$$
Se $k\neq 1$
Mentre se $k=1$ la somma è solo $n+1$

La massima somma delle cifre è $33$ e si ottiene con $6999$. I multipli di $7$ fino a quel numero sono solo $4$. Iniziamo notando che la distanza tra $2$ multipli di $7$ è proprio $7$ quindi se fisso le prime $3$ cifre e lascio variabili le unità posso ottenere sicuramente $1$ o $2$ numeri che vanno...

Hai contato più volte qualcosa però. Nascondo quello che ho fatto io: Riprovando mi viene che ho $5050$ triplette ordinate, poi tolgo la tripletta formata dai $33$ e quelle con $2$ numeri uguali che sono $49$ triplette non ordinate (ho escluso quella di prima) che però vanno moltiplicate per $3$ ess...

Noi abbiamo fatto una bella (e soprattutto divertente) gara. Avevamo tanti nuovi, ma abbiamo fatto comunque 20 problemi. Speriamo di passare visto che ci siamo impegnati molto

\int_{-30}^{30} Ne sei proprio sicuro? Se si incontrano in $0$ e $60$ non dovresti integrare tra questi due valori? La tua soluzione è sbagliata anche perchè il rettangolo con i lati paralleli agli assi che contiene l'area ha lati $50$ e $60$, quindi ha area $3000$ che è minore del tuo risultato. V...

Ponendo $y=0$ ottengo $f(f(x))=xf(k)$. Ora, fissando $x$ è ovvio che il LHS non varia, dunque neanche il RHS e in particolare $f(k)$ è costante. Però se chiamo $f(k)=a$ con $k>0$, ottengo nell'espressione iniziale $f(a)=xa$ quando $y=0$ e $x>0$, dunque $a=0$e $f(a)=0$. Ponendo $x=1$ ottengo $f(y+f(1...

Chiamo $x$ la somma tra BC e AC Per la formula di Erone: $$A=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{\frac{x+AB}{2}\frac{x-AB}{2}\frac{x+AB-2BC}{2}\frac{x+AB-2AC}{2}}$$ Per massimizzare l'area devo quindi rendere massimo il prodotto: $$(x+AB-2BC)(x+AB-2AC)=x^2+AB^2+4BC \cdot AC+2ABx-2(x+AB)AC-2(x+AB)BC$$ C...

Inizio notando che il caso $n=2$ è banale e che il caso $n=1$ è alquanto assurdo. Dimostro che se $n$ è pari e maggiore di $2$, allora non è possibile fare un "attraversamento" come richiesto: Ogni vertice è collegato a ogni altro perchè il grafo è completo, quindi ogni vertice è collegato...

Se risolvi la quadratica in $p$ il delta deve essere un quadrato perfetto $k^2$ perché senno ciccia; ma il delta è $8(n^3+1)+9=8p(2p-3)+9$ da cui $$8p(2p-3)=k^2-9=(k+3)(k-3)$$ Ora visto che $p$ è primo $p\mid (k+3)$ oppure $p\mid (k-3)$, e più o meno qui secondo me te la cavi facendo i casi a manin...

Premetto che la mia soluzione non è completa e che servirebbe l'aiuto di qualcuno di più esperto per concludere. Riscriviamo la diofantea come: $$p(2p-3)=n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$$ Ora, $2$ soluzioni facili da trovare sono nel caso in cui $p=n+1$. Sostituendo si ottiene $n^2-3n+2=0$ e ottengo quindi $(2...

Visto che nessuno risponde ci provo io: Definiamo le possibili condizioni in cui si trova il prigioniero: il caso "non ha niente" lo chiamo $n$ quello in cui ha solo il martello lo chiamo $a$ quello in cui ha solo il mattone lo chiamo $b$ quello in cui ha sia il mattone che il martello lo ...

Per facilitare la spiegazione, consideriamo la prima retta orizzontale, se non lo fosse, ruotiamo il piano per renderla tale. Definiamo $x \ge 0$ il numero di rette verticali e $y\ge 1$ il numero di rette orizzontali compresa la prima. Sapendo che le rette totali sono tante quanti i giorni, allora $...

Inizio considerando le cifre come coordinate di un oggetto, ricordando le condizioni su $n$: partendo dalla cifra più significativa considero una tabella con $1$ riga e $5$ colonne, se la cifra è $1$ allora l'oggetto è nella prima colonna, se è $3$ nella seconda ecc. Posso fare queste osservazioni: ...