OliForum Matematico

Hai idea di cosa significhi che una funzione può essere scritta come eccetera eccetera e cosa significhi il segno di = che scrivi? Evidentemente no :oops: , mi spiace di aver scritto fessererie, c'è da dire che però lo avevo anticipato :mrgreen: . Per caso l'errore fondamentale è assumere che la fu...

Provo a rispondere al problema originale, anche se userò strumenti che non so ancora padroneggiare con sicurezza, quindi preparatevi ad una valanga di errori :roll: ! $$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos(y)$$ Sostituisco $x=x' \in \mathbb{R}$, $y=\frac{\pi}{2}$, ottenendo: $$f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+f\lef...

Visto che sai che $3$ è radice, puoi sostituire semplicemente ottenendo: $$27+9a+3b+42=0$\Rightarrow 3a+b=-23$$ Dall'altra equazione si ottiene il sistema: $3a+b=-23$ $ab=5\sqrt{7}+21$ Risolvo per sostituzione: $a(-23-3a)=5\sqrt{7}+21\Rightarrow 3a^2+23a+5\sqrt{7}+21=0$ Questa è una quadratica per $...

Non so se sia giusta, mi pare troppo facile... Sia $p$ un generico primo che divide $2x^2+3$, allora per ipotesi deve dividere anche $y^2-2$. Riscrivendo, possiamo dire che: $$y^2\equiv 2 \pmod p$$ ovvero $2$ è un residuo quadratico modulo $p$, quindi per un fatto noto deve valere $p\equiv \pm 1 \pm...

Domanda probabilmente stupida: $a$ e $b$ sono naturali, interi, razionali, reali o complessi?

Suppongo per assurdo $\gcd(m,n)=1$, voglio mostrare che allora: $$\varphi(5^m-1)\ne 5^n-1$$ Fatto: per ogni $m\geq 1$, si ha che $m\mid \varphi(5^m-1)$ Infatti osservo che $ord_{5^m-1}(5)=m$ perché deve essere $5^x-5^m+1\equiv 1 \pmod {5^m-1}$, e visto che $\gcd(5^m-1,5)=1$, posso dire che per il te...

Chiamo $P(n)$ la probabilità che ha karlosson di PERDERE senza arrivare mai _sul_tetto, con $n$ uguale al numero del piano, vale allora: $$P(n)=\frac{1}{2}P(n-1)+\frac{1}{2}P(n+1)$$ In quanto ad un piano $n$ posso arrivarci solo da due piani adiacenti. Valuto allora gli specifici $P(n)$: $P(0)=1$ $P...

Dimostrazione 2: Ricordo il criterio di condensazione di Cauchy: Data una successione positiva non crescente $a_1,a_2,...$, la somma $\sum_{i=1}^{\infty} a_i$ converge se e solo se converge la somma $\sum_{i=0}^{\infty} 2^ia_{2^i}$ . Nel nostro caso, sostituendo i valori degli $a_{2^i}$ si ottiene:...

Provo a dare una dimostrazione (anche se non mi sembra molto olimpica, è la più semplice che mi è venuta in mente...) Dopo una veloce interpretazione geometrica della sommatoria sul piano cartesiano, osservo che vale: $$\sum_{x=2}^{\infty}\frac{1}{x^s}\leq \int_{1}^{\infty} x^{-s} \,dx$$ In quanto R...

@EvaristeG @Lasker: dillo, quando dici che la Cauchy ha solo soluzioni lineari, che questo è vero perché hai anche l'ipotesi di monotonia. In realtà l'avevo detto all'inizio: Il fatto che le funzioni siano monotone mi fa pensare a una Cauchy anche se devo ammettere che messa lì e in quei termini è u...

Mi sembra che abbiamo convenuto che si poteva dare per scontato (ma non ne sarei così certo), anche se dopo tutto la dimostrazione non è impossibile/tediosa...

Probabilmente si, dopo tutto io lo dimostro in due passaggi quasi banali...
(OT: ho già avuto la stessa identica discussione al Senior, anche se lì si parlava di $g(f(x))=x$ con $g$ suriettiva ed $f$ iniettiva, eri per caso presente anche tu?)

Il fatto che le funzioni siano monotone mi fa pensare a una Cauchy 8) . Pongo $x=0$, $y=y_0 \in\mathbb{R}$, da cui deriva: $$f(f(y_0))=f(0)+y_0$$ Visto che RHS può variare su tutto $\mathbb{R}$, la funzione è suriettiva; dunque esiste $k$ tale che $f(k)=0$. Sostituisco $k_0$ alla $y$, ottenendo: $f(...

Prima di tutto, visto che $2^q-1$ è dispari per ogni $q$, $p$ è sicuramente diverso da $2$. Sappiamo inoltre che vale: $$2^q\equiv 1 \pmod p$$ Dunque $ord_p(2)\mid q$ per definizione di ordine moltiplicativo. Visto che $q$ è primo, l'ordine può valere solo $1\lor q$, ma il valore $1$ è assurdo, dunq...

Visto che questa è la prima volta che scrivo in questa sezione, posso a buon diritto dire che il "meno esperto" mi si addice! basta prendere i tre vertici di un triangolo equilatero di lato $1$ metro; di questi per pigeonhole almeno due avranno lo stesso colore, e sono ovviamente tutti dis...