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Mi sono accorto che effettivamente la tesi è sbagliata (comunque avevo chiesto di verificare, quindi non garantivo che la tesi fosse giusta). Basta prendere un triangolo isoscele degenere di base nulla, e si vede che la somma delle mediane è pari al perimetro.

Prendiamo una base di Hamel contenente $ \pi $ e definiamo la seguente funzione:
$ f(x)=x+\lambda $
dove $ \lambda $ è il coefficiente di $ \pi $ nella scrittura del numero $ x $ come somma di prodotti di coefficienti razionali per elementi della base di Hamel. Dovrebbe funzionare.

In realtà basta che le tre differenze delle coordinate non siano prime tra loro, ovvero che $ M.C.D.\{ x_A-x_B ; y_A-y_B ; z_A-z_B \}>1 $ affinché ci sia almeno un punto lattice sul segmento AB, esclusi A e B. In particolare, ce ne sono $ M.C.D.-1 $ (mi pare).

Sia ABC un triangolo acutangolo. Si costruiscono verso l'esterno tre triangoli isosceli simili ABC' di base AB, BCA' di base BC, CAB' di base BC. 1) Dimostrare che le retta AA', BB', CC' concorrono. 2) Dimostrare che la tesi è vera anche se il triangolo di partenza è ottusangolo e/o i triangoli isos...

Concordo perfettamente sugli errori tipografici, che provvederò a correggere. Ma due funzioni bigettive f e g diverse tra loro portano ad uno stesso risultato solo se sono uguali tranne che per due elementi x e y scambiati tra di loro, no? Per esempio, se n=5, le funzioni f e g: f(1)=3; f(2)=5; f(3)...

Per le prime domande credo di avere la soluzione: 1) Quando sono arrivato in cima, mi sono fermato, dunque non ho più energia cinetica, ma solo quella potenziale. Il lavoro è dato dalla differenza di energia, dunque opterei per L=mgh. Oppure: è vero che all'inizio del lavoro ho faticato per acquista...

Siano $ a,b,c $ i tre lati di un triangolo tali che $ a+b+c=1 $, e siano $ m_a, m_b, m_c $ le tre mediane. Verificare se
$ \frac{3}{4} \leq m_a+m_b+m_c \leq \sqrt{\frac{3}{4}} $

Dimostriamo innanzitutto che le funzioni f sono "quasi" bigettive, ovvero che a parte 2 elementi di A che hanno la stessa funzione, per il resto i valori sono tutti differenti: 1) se non ci fosse neanche una coppia di elementi con lo stesso valore della funzione, allora f sarebbe bigettiva...

Ciao e auguri anche da parte mia!

Welcome!

Si trova sotto al tuo testo, e sei stato tu stesso a postarla!
OK, seriamente, cosa intendi per immagine della lampadina?

Scriviamo m come a^2 e n come b^2 . Allora m-n=(a+b)(a-b)=10^x+10^y , con 0\leq x<y\leq 3 . Dunque (a+b)(a-b) può assumere i seguenti valori: 11, 101, 110, 1001, 1010, 1100. Poiché a+b e a-b hanno la stessa parità, escludiamo 110 e 1010, perché sono pari ma non divisibili per 4, dunque si possono sc...

Good idea!

Oh, che bella idea! E dire che l'induzione si può fare sia su n che su k!

Intendevo rinnovare l'invito a trovare altre dimostrazioni, e sarebbe più che sorprendente se qualcuno usasse la trigonometria. Non intendo dire che io sarei in grado di dare la dimostrazione con la trigonometria!