OliForum Matematico

Sono impedito con generatrici (anche se non mi sembra di usarle, meglio i trucchi normali) e ho appena fatto un allenamento, non garantisco nulla sulla correttezza della soluzione :mrgreen:. Più che altro, io il problema lo vedrei come una sommatoria di serie geometriche: $$k\sum_{i=0}^{n-1} {k^i}+k...

Inizio ottobre è perfetto!

@darkcrystal: speravo di cavarmela con poco; ecco il mio tentativo di miglioramento! Per quanto dimostrato in precedenza, scendendo per Vieta Jumping (ed usando sostanzialmente la formula che non ho usato, la somma delle soluzioni :mrgreen: ) da una qualsiasi soluzione $\left\{a_k,b_k\right\}$, dovr...

L'equazione è falsa modulo $7$, infatti $x^6\equiv 0,1 \pmod 7$ per il piccolo teorema di fermat. Studio ora le quarte potenze modulo $7$: $0^4\equiv 0 \pmod {7}$ $1^4\equiv 1 \pmod {7}$ $2^4\equiv 2 \pmod {7}$ $3^4\equiv 4 \pmod {7}$ $4^4\equiv 4 \pmod {7}$ $5^4\equiv 2 \pmod {7}$ $6^4\equiv 1 \pmo...

UP! Provo a dare io una risposta al problema di Troleito, anche se non garantisco nulla sulla correttezza della soluzione :) . $$\frac{a^2+b^2-1}{ab}=2013$$ Il metodo che ho intenzione di usare (per la prima volta) è un telefonatissimo Vieta Jumping: $*$ chiamo $A,B$ fra tutte le soluzioni $a,b$ che...

Per rispondere basta risolvere l'equazione diofantea: $$x^5-4=y^2$$ Noto subito che, per il piccolo teorema di Fermat, $x^{10}\equiv 0,1 \pmod {11}$, e dunque $x^5\equiv 1,-1,0 \pmod {11}$. Dunque vale $LHS\equiv 6,7,8 \pmod{11}$ Ora è sufficiente mostrare che questi numeri non sono residui quadrati...

@karlosson_sul_tetto
Grazie! Ero un po' perplesso sul risultato (=non ho ancora fatto i limiti a scuola e ho fatto quel passaggio "a naso"), e non ero del tutto sicuro della correttezza dei conti...(ce ne sono un bel po' da fare )

Se torni ad organizzarlo (con modifiche o senza) garantisco la mia partecipazione, mi sembra una bellissima iniziativa e vorrei tentare questa competizione almeno una volta!
(Purtroppo non conoscevo il forum ai tempi del precedente contest... )

Posso chiedere umilmente lumi riguardo all'esercizio 10 (Algebra 2) del senior 2002?
La mia domanda è: nell'ultimo punto del problema, può essere che l'uguaglianza con le costanti non si verifichi mai?Oppure ho sbagliato qualcosa?

Ottima soluzione, a te il prossimo problema!

Risolvere negli interi non-negativi la seguente equazione:
$$2^x-1=xy$$

Ok, faccio il tentativo! $$F_{a+b}=F_{a-1}F_{b}+F_{a}F_{b+1}$$ Ora vado di induzione su $b$ :mrgreen: 1)Passo base:$b=1$ (due casi base, $b=F_1$ e $b=F_2$) $F_{a+1}=F_{a-1}+F_{a}$, che è vero per definizione dei numeri di Fibonacci. 2)Passo induttivo: $F_{a+b}+F_{a+b-1}=(F_{a-1}F_{b}+F_{a}F_{b+1})+(...

Per prima cosa dimostro per induzione il lemma (in realtà fatto noto) sulla somma dei quadrati dei numeri di Fibonacci: Lemma quadrati: $\sum_{k=1}^n {F_k}^2=F_nF_{n+1}$ 1) Per $n=1$ è banalmente verificato 2)Passo induttivo: $$\sum_{k=1}^n {F_k^2}+F_{n+1}^2=F_nF_{n+1}+F_{n+1}^2$$ $$\sum_{k=1}^{n+1}...

Sono stra-scarso in combinatoria (questo lo ho precisato anche nel topic di presentazione :lol: ), ma provo ad aiutarti, in attesa che qualcuno smonti la mia soluzione. Il fatto che il polinomio sia omogeneo garantisce che tutti i termini hanno lo stesso grado, in questo caso $12$. A questo punto, d...

Grazie! (riguardo all' OT, mi ha scritto proprio ora su facebook riguardo a questa discussione, chiedendomi se ti conoscevo )