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Siano F=EX{\displaystyle \cap }CD e G=EY{\displaystyle \cap }AB . I triangoli GEX e FEY sono simili, infatti \angle GEX=\angle FEY in quanto angoli opposti al vertice, \angle EFY=\pi - \angle FEC-\angle ECF= \pi/2-\angle GAD=\angle AGY=\angle XEG , nell'uguaglianza si è sfruttato il perpendicolarism...

Sì, chiaramente le condizioni precedenti, se non sono presenti sviste, sono solamente necessarie, ad ogni modo appena avró terminato la revisione dei problemi per il Winter completeró la dimostrazione aggiungendo le condizioni sufficienti. Nel frattempo ho corretto la svista su $ b $.

Per adesso mi limito a riportare dei bound sui tre parametri del problema, a seguito completerò la dimostrazione. Il primo fatto importante da sfruttare è che le radici sono positive, ovvero 0<\angle A,\angle B,\angle C<\pi/2 . Inoltre per le relazioni radici-coefficienti a,c<0 , b>0 Usando la disug...

Buona dimostrazione, è tuo adesso l'onore di porre un problema di livello più avanzato. Per completezza posto la mia soluzione: Sia ω una circonferenza di raggio unitario e centro O , si fissino due punti sulla circonferenza A e B e sia x l'angolo convesso formato dalle rette OA e OB . L'arco su cui...

Trovare una dimostrazione geometrica, dunque non analitica o che faccia uso di limiti già ben noti, del seguente limite:

$$\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1-\cos x}}x$$

Quindi il centro sarebbe la media aritmetica dei punti che scegli. Magari trovando un'interpretazione geometrica alla parte destra si riesce anche a capire come funzionano i casi degeneri In verità sei molto vicino alla soluzione, è sufficiente considerare che il punto in cui degenera la circonfere...

Sia P=(x,y) il punto che al variare di x,y descrive il luogo geometrico e P_i=(x_i,y_i) l' i -esimo punto del piano fissato. Si può riscrivere la caratteristica del luogo come: \sum(PP_i)^2=\sum(x-x_1)^2+\sum(y-y_i)^2= nx^2+ny^2-2x\sum(x_i)-2y\sum(y_i)+\sum(x_i)^2+\sum(y_i)^2= k Dividendo per n ques...

Per quali numeri interi [math]n la somma dei numeri coprimi ad esso risulta suo multiplo?
Fra i numeri coprimi ad un numero è da considerarsi anche [math]1.

Provare:
$\sqrt {\frac{{{a^3} + 2bc + 3}}{{{b^3} + {c^3} + 2a\left( {b + c} \right)}}} + \sqrt {\frac{{{b^3} + 2ca + 3}}{{{c^3} + {a^3} + 2b\left( {c + a} \right)}}} + \sqrt {\frac{{{c^3} + 2ab + 3}}{{{a^3} + {b^3} + 2c\left( {a + b} \right)}}} \ge 3$
Data la condizione ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$

Penso che ora si possa discutere liberamente sui problemi. Su quali presentate incertezze?

Senza lasciare alcun riferimento diretto sui problemi almeno sino alle 20:00, come vi è sembrata la gara di oggi?
Io ritengo che la parte dimostrativa sia piuttosto semplice, mentre i quesiti mi sono parsi leggermente più complessi del solito.
Attenetevi a vaghe considerazioni.

Sia ABC un triangolo di base AB fissata, con la somma degli altri due lati costante. Si cerchi il rapporto fra i lati BC ed AC per cui l’area di ABC sia massima.