OliForum Matematico

quanto avete fatto? quanto sarà il cut-off quest'anno? io sono attorno agli 80 punti..

Soluzione OK;
fede, mi è oscuro quello che dici.. I centri ortologici di $ ABC $e $ A_1B_1C_1 $sono ortocentro e centro della circonferenza di Feuerbach del triangolo formato dalle rette $ AA_1 $, $ BB_1 $e $ CC_1 $ ? Questo vuoi dire? Se sì, è vero, ma non sono coniugati isogonali!

Il trapezio è isoscele perché gli angoli in P e Q sono $MAB$ e $MBA$ che sono uguali.
Molto carina la tua!!

Il prossimo problema è qui

ABC triangolo con $\Gamma$ circonferenza circoscritta. Sia $A_1$ la seconda intersezione di $\Gamma$ con la parallela a $BC$ passante per $A$, e siano similmente definiti $B_1,C_1$. Dimostrare che le perpenicolari da $A_1,B_1,C_1$ a $BC,CA,AB$ concorrono (altrimenti detto, i triangoli $ABC$ e $A_1B...

Rilancio appena inventato: Detta $\Gamma$ la circonferenza per ADE e P l'intersezione tra MA e $\Gamma$ e Q (costruito come P) intersezione di MB e della circonferenza per BCF, dimostrare; 1) P, Q, E e F sono allineati 2) ABPQ sono ciclici Step 1: $EF\parallel AB$. Infatti per la ciclicità di prima...

accidenti, no non ce la posso fare a scrivere tutto.. Comunque le cose fondamentali erano $n-1$ AM-QM su vari pezzi , e poi un Cauchy Schwartz..

E no, non abbiamo scritto la stessa cosa! $x_i-x_j=k(i-j)\Leftrightarrow x_i=ki+h$ cmq io l'avevo risolto in un altro modo, con altrettanti conti ahahah

Tutto giusto tranne il caso di uguaglianza. Infatti si ha uguaglianza quando $x_i-x_j=k(i-j)$ e basta il caso $i=j+1$ per farti trovare la condizione :) cmq mi hai fatto fare un mucchio di contacci! Ecco , prima di passarti la parola, dovrai soffrire e postare tutti i passaggi per bene! :D poi posta...

Va bene, allora lascio il problema Non vale sbirciare la soluzione!!

Ma guarda te questi francesi che si rivendono i problemi delle shortlists!! Andrea, ma come diavolo fai a conoscere i problemi della shortlist 2003?!

Vabbè, a questo punto lascerei la parola a tutti coloro che non conoscono la IMO shortlist 2003 o cambio problema?

Qui il nuovo problema

Ovviamente il mio problema è una delle mie amate disuguaglianze. Non fatevi intimidire dal testo! Sia $n>0$ un intero e $x_1 ,x_2,...,x_n$ dei reali tali che $x_1\le x_2\le...\le x_n$. Dimostrare che $$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n |x_i-x_j|\right)^2 \le \frac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i=1}^n...

Va bene, ci ho pensato ancora ma non sono riuscito ad aggiustare la soluzione elegante. Quindi procedo con quella bovina :) Notazioni: $$p(x)=\sum_{i=0}^d a_ix^i \ \ ;\ \ q(x)=\sum_{i=0}^{f}b_ix^i$$ Scelgo $f=deg(q)$ tale che $\displaystyle |\{ x\in S , 0\le x\le f\}|\ge d+1 $. Esiste perché $S$ è i...

accidenti! va bè, ci penserò domani.. sorry

Va bè, nessuno risponde.. Allora provo io :) Bon (citazione alla dario2994, te la copio perché tu copi il mio modo di bere), per il Teorema di Van Der Waerden, essendo S infinito, esiste una progressione aritmetica arbitrariamente lunga di elementi di S . Siano $(a,a+k,a+2k,a+3k,.. )$ questi tantiss...