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Visto che recentemente HiTLeuLeR ha avuto modo di parlarci di valutazioni p_adiche,proviamo ad usarle Distinguiamo due casi A) x=y Abbiamo che x^2+xy+y^2=3x^2 . La tesi è allora verificata in quanto un numero primo, se compare in 3x^2 , ci compare almeno due volte. B) x e y sono diversi.Per simmetri...

HiTLeuLeR ha scritto:Sì, Igor, i tuoi argomenti sono corretti, seppure (concedimelo) un po' troppo disorganizzati...

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Hai ragione, HiT.Mi sono reso conto che avrei potuto risparmiare molte parole

Ho corretto il typo.Grazie per la segnalazione.

Calcoliamo \displaystyle\sum_{n\in P} {\frac{1}{n}}\displaystyle Consideriamo allora la seguente somma S=(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...)+(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...)+... La somma dei termini in una parentesi vale \frac{1}{i(i-1)} , dove i indica la base di tutte le potenze contenute in una pa...

Basta osservare che la terna

$ (2^{15h+10};2^{6h+4};2^{10h+7}) $ è soluzione della diofantea per ogni $ h\in N $.

Grazie Enomis.Ho trovato l'errore e riguarda solo il caso $ p=3 $.Fortunatamente la mia soluzione è salvabile.Provvedo subito a corregerla.

Nella sezione comitato di accoglienza c'è un Topic (File *.PDF) in cui sono elencati alcuni programmi per creare file .pdf. Comunque io uso PDF-XChanghe 3 Pro, che permette di convertire un file di Word o di Excel in un documento PDF. Girovagando un poco sulla rete dovresti trovarlo.Io l'ho scaricat...

Analizziamo innanzitutto il caso n=1 .Abbiamo che x^3+y^3=p\Rightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=p Poichè x e y sono positivi, abbiamo che x+y>1 . Allora l'unica possibilità è che sia x+y=p x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=1\Rightarrow\frac{p^2-1}{3}=xy Poichè x+y=p , il massimo di xy è \frac{p-1}{2}*\frac{p+1}{2}=\f...

Lemma #1 . (2^{2^{1-1}}+1)(2^{2^{2-1}}+1)\ldots (2^{2^{n-1}}+1)=(2^{2^n}+1)+2 Si verifica per induzione. Lemma #2 p_{n+1}\leq p_1p_2\ldots p_n+1 Consideriamo infatti il termine p_1p_2\ldots p_n+1 .Esso non è divisibile per nessuno dei p_i , quindi o è primo, o esiste almeno un altro primo maggiore ...

Lemma 1*1!+2*2!+\ldots +n*n!=(n+1)!-1 Si dimostra facilmente per induzione. Ammettiamo ora che,fissato n ,esistano k\in\mathbb{N}_0 e una sequenza di interi a_1,a_2,\ldots ,a_k tali che n=a_1*1!+a_2*2!+\ldots +a_k*k! , a_k\neq 0 e 0\leq a_1\leq i per ogni i=1,2,\ldots ,k .Dimostriamo che sono gli u...

Proviamo a risolvere la questione... Ammettiamo per ora p\geq 7 Innanzitutto deve essere n<2p , altrimenti il membro di destra sarebbe divisibile una sola volta per p , in contraddizione col fatto che a sinistra c'è un quadrato perfetto. Distinguiamo ora due casi A) p\leq n<2p Possiamo dunque porre ...

Calcoliamo R(n+1) in funzione di R(n) . Distinguiamo tre casi A) k è un divisore di n allora n\bmod k=0 ed n+1\bmod k=1 B) k è un divisore di n+1 allora n\bmod k=k-1 ed n+1\bmod k=0 C) k non è un divisore nè di n nè di n+1 allora n+1\bmod k=(n\bmod k)+1 In questi tre casi non rientrano k=1 e k=n+1 I...

Consideriamo il membro di sinistra e calcoliamo quante volte un certo addendo compare nella somma. L' uno compare in ogni termine, quindi avremo la somma \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}\displaystyle Il due compare per ogni termine \frac{\sigma(i)}{i} in cui i è multiplo d...

Ammettiamo per ora che sia il membro di destra che quello di sinistra siano dispari.Allora uno tra x ed y è pari e l'altro è dispari.Lo stesso vale per u e v . Lavorando modulo 4 troviamo 1\equiv 3\bmod 4 assurdo. Dunque entrambi i membri sono pari.Abbiamo allora quattro possibilità A) x,y pari; u,v...

Dimostriamolo per induzione su n . Per n=2 , abbiamo due numeri: x_1,x_2 La disuguaglianza diventa \frac{x_1^2}{x_1^2+x_1x_2}+\frac{x_2^2}{x_1^2+x_1x_2}\leq 1 . Svolgendo i calcoli ci resta 0\leq 0 che è sempre vera. Supponiamo ora che la disuguaglianza sia vera per un certo n , cioè che dati x_1,x_...

Era solo un errore di distrazione, come al solito .Grazie Jim.