OliForum Matematico

Vabbè dai, ve lo do io un bonus interessante: trovare tutte le soluzioni intere positive.

$x=30, y=26$.

Ok, giusta .
In alternativa, senza scomodare Möbius, si può fare per induzione estesa su $n$; si raccolgono cose diverse, ma l'obiettivo è sempre lo stesso: ottenere la phi dei primi che compaiono elevati al massimo esponente insieme a roba multipla di quelle stesse potenze di primi.

Sia $a_1, a_2, \dots$ una successione infinita di interi tali che
$\displaystyle 2^n = \sum_{d \mid n} a_d$ per ogni $n$ intero positivo.
Dimostrare che $n \mid a_n$ per ogni $n$ intero positivo.

Talete ha scritto: ↑12 nov 2017, 12:07 EDIT: l'hai cambiato velocissimo

Da cellulare è tutto più fast.

Sia $F_n$ l'$n$-esimo numero di Fibonacci ($F_1=F_2=1$), dimostrare che
$\displaystyle 3 < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{F_n} < 4$.

Curioso, stavo cercando problemi sui primi e proprio poco fa mi sono imbattuto nello stesso problema, ma con $8$ al posto di $10$...

Facciamo gli esercizi gentilmente lasciatici da Troleito. Inizio da $e^x \ge x+1$. Consideriamo $e^x-x$. Voglio mostrare che $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty} e^x-x=+\infty$. Se $x$ tende a meno infinito si ha $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} e^x-x=\lim_{x \rightarrow -\infty}...

Ok, stavolta sei stato molto dettagliato, è giusta.

Se così non fosse, ci sarebbe almeno un vertice collegato a solo altri 2 vertici, quindi sarebbe necessariamente in un insieme diverso da quei due punti, ma potrebbe essere tranquillamente in quello in cui si trova il terzo. E chi ti dice che non è collegato a un quinto vertice che sta nello stesso...

Ora, scrivere $n>3$ significa dire che ci sono almeno $4$ vertici collegati tutti tra loro Questa frase non mi convince. Cioè, se non ricordo male il problema è vera, ma va dimostrata, perché magari c'è una configurazione di archi per i quali quattro vertici non tutti collegati tra loro da un arco ...

Ok, tutto giusto!

Ops, scusate, non avevo controllato.

Ok, direi che va bene.

Sia $ABC$ un triangolo e $m$ una linea che interseca i lati $AB$ e $AC$ nei punti interni $D$ e $F$, rispettivamente, e interseca la retta $BC$ in pun punto $E$ tale che $C$ sta tra $B$ e $E$. Le parallele a $m$ passanti per i punti $A$, $B$, $C$ intersecano la circoscritta a $ABC$ nei punti (divers...