OliForum Matematico

Beh,il limite superiore (finito) non credo qualcuno l'abbia trovato :shock:,altrimenti costui avrebbe anche dimostrato la congettura :D .Per quanto riguarda il limite inferiore,invece,io dico log_2(n)+1 .L'algoritmo di Collatz infatti termina il più rapidamente possibile quando n è una potenza di du...

Ok,avevo frainteso.Non penso sia possibile alcun ampliamento relativamente semplice al tuo procedimento.Credo infatti che,anche manipolando le cifre in maniera diversa arriveresti ugualmente a trovare dei numeri composti.

Il problema grosso, come si sarà capito, è che il fatto di "aggiungere uno alla cifra centrale" è una cosa intuitivamente comprensibilissima, ma che perde valore da quando si ha il numero 1234567900987654321 . Avevo immaginato qualcosa ma non ho i miei fogli a portata di mano... se invent...

Di certo ti posso dire che la formula non produce solo numeri primi.Ad esempio,se il numero di partenza è formato da 15 cifre uguali ad 1,il numero ottenuto col tuo algoritmo è divisibile per 61,e dunque è composto.La divisibilità per 61 si verifica con un pò di congruenze,se vuoi ti posto i passagg...

Beh, potevo risparmiarmi un pò di parole osservando semplicemente che se un giocatore vince con un certo numero $ n $ di vertici,allora vince anche con $ n+3 $.Basta allora vedere che A vince con $ n=2 $ e che perde con $ n=3,4 $ per concludere.

Dimostriamo che tutti gli n della forma 3k+2 permettono al giocatore iniziale di vincere.Abbiamo infatti che: A)Con una mossa,un giocatore può diminuire il numero di vertici occupati di 1 o di 2(eccetto la prima mossa,in cui se ne occupano necessariamente 2) B)Se un giocatore resta con tre vertici s...

Dimostriamo che tutti gli n della forma p^{p-1} , con p primo maggiore di 3 verificano la tesi. Distinguiamo due casi: A) x è coprimo con p . L'equazione diventa allora: \sigma_0(p^{p-1}*x)=x \sigma_0(p^{p-1})*\sigma_0(x)=x p*\sigma_0(x)=x assurdo poichè abbiamo posto (p,x)=1 . B) (x,p)>1 Possiamo a...

In accordo con l'unicità della decomposizione euclidea,poniamo n=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}\ldots *p_m^{k_m} , con p_1,p_2,\ldots p_m primi distinti.Possiamo allora riscrivere l'equazione come (k_1+1)^3(k_2+1)^3\ldots (k_m+1)^3=4p_1^{k_1}*p_2^{k_2}\ldots *p_m^{k_m} . Poichè a sinistra abbiamo un cubo perfe...

Possiamo dimostrare separatamente che: 42|(3^p-2^p-1) e che p|(3^p-2^p-1) . Questo ci permette di verificare la tesi per tutti i primi eccetto quelli che dividono 42 ,che sono 2,3,7 . A) 3^p-2^p-1\equiv 0\bmod 42 Essendo 42=2*3*7 ,possiamo dimostrare separatamente le seguenti 1) 3^p-2^p-1\equiv 0\bm...

Vediamo di rimediare: Abbiamo che (a+1,a^2-a+1)=(a+1,(a+1)^2-3a) =(-3a,a+1)=(3,a+1) . Allora o a+1 e a^2-a+1 sono coprimi,oppure il loro gcd è 3 ,il che avviene solo quando a\equiv 2\bmod 3 . Se sono coprimi la tesi è verificata per quanto detto nel post precedente,se invece il gcd è 3,consideriamo ...

Abbiamo che a^3+1=(a+1)(a^2-a+1) . Ora calcoliamo il gcd tra a+1 e a^2-a+1 : (a+1,a^2-a+1)=(a+1,a^2-2a)=(a+1,a(a-2)) Ora,per a\ge 3 abbiamo che (a+1,a(a-2))=(a+1,a-2)=1 Quindi,per a\ge 3 abbiamo che (a+1) e (a^2-a+1) sono coprimi.Allora p|(a+1)(a^2-a+1)\Rightarrow p|(a+1)\wedge p|(a^2-a+1) . Allora ...

Ok jim!Tutto perfetto.

Per k=0 la tesi è banale, in quanto nella successione {0,1,2...} esistono sicuramente tre termini in progressione geometrica. 1)Se k è razionale, allora esistono tre termini della successione {k,k+1,...} che sono in progressione geometrica. Se k\neq 0 allora possiamo porre k=\frac{a}{b} , con a,b\in...

Definiamo la seguente funzione R\mapsto R : f(x)=1+\frac{1}{x} Definiamo ora per ricorsione la funzione a(n) , N\mapsto R : a(0)=1 a(n)=f^{n}(a(n-1)) dove f^{n}(x) indica l'iterata n-esima di f(x) . Trovare \displaystyle \lim_{n\mapsto +\infty}a(n)\displaystyle Ho messo l'esercizio in algebra e non ...

@Spi Per quanto riguarda il secondo punto dell'esercizio A, tu hai scritto ...vista la natura della strategia, essa è applicabile a tutti e soli i tavoli con una qualsiasi forma simmetrica rispetto al centro... Hai escluso a priori che non esistano altre strategie valide.Potrebbe infatti esistere un...