OliForum Matematico

@ma_go: manca qualche vincolo, perchè $f(x)= \pi$ e $g(x)= \frac{\pi}{2}$ (polinomi costanti) verificano l'ipotesi ma non la tesi.

Forse basta aggiungere che $f$ e $g$ debbano essere di grado almeno uno.

Il fatto è che viene riempito tutto $\mathbb{Z}$, quindi non ci possono essere buchi. Per essere un po' più precisi, per ogni $m$ intero esiste $\alpha$ reale tale che $g(\alpha)=m$ (banale: $\alpha= \frac{m-d}{c}$, ma non ci interessa il valore preciso). Quindi $f(\alpha) \in \mathbb{Z}$, e dato ch...

$\displaystyle f(x)=ax+b \qquad a,b \in \mathbb{R}, \quad a>0$ $\displaystyle g(x)=cx+d \qquad c,d \in \mathbb{R}, \quad c>0$ $\displaystyle \forall n \in \mathbb{Z} \quad f\left(\frac{n-b}{a} \right)=n \in \mathbb{Z}$, dunque $\displaystyle \forall n \in \mathbb{Z} \quad g\left(\frac{n-b}{a} \right...

provo per induzione su n \in \mathbb{N} Base : $n=1$. Devo trovare $x \in \mathbb{N}$ tale che $ax^2+bx+c$ sia pari. Bene, se $c$ è pari scelgo $x=2$, altrimenti $x=1$. Passo : sia $n$ intero positivo fissato. Supponiamo che esista $x$ intero positivo tale che 2^n \mid ax^2+bx+c . Devo dimostrare ch...

Mi sembra implicito che si intenda solo "primi positivi", altrimenti la condizione $p\leq \sqrt{n}$ è inutile.

C'è (almeno) un caso che funziona: $a=b=1$.

Si ha che $(a,b)=1$, che $n=2$ e per ogni primo minore di $\sqrt{2}$ vale $p \mid 1$
(perchè non esistono primi minori di $\sqrt{2}$).

Un 'altra soluzione: è un po' più lunga e in alcuni punti coincide con quella di scambret, ma credo che male non faccia se la pubblico: Supponiamo per assurdo che esista $f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tale che $ f(x+f(y))=f(x)-y $ per ogni $x,y \in\mathbb{Z}$. Si ha: $f(0)=0$ $x=y=0 \implies f(...

Sia $p$ primo che divide $a-b$ (quindi $a-b= kp$). Voglio dimostrare che $p^2 \mid a-b$. Siccome $\frac{ab}{a-b} \in \mathbb{N}$, necessariamente $p \mid ab$. Dunque $p \mid a$ oppure $p\mid b$. Se $p \mid a$, allora $a= k_1 p$, da cui $kp=a-b= k_1 p-b \implies b= (k_1-k)p \implies p \mid b$. Se $p ...

$\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}$ rappresenta in effetti tutto $\mathbb N$ al variare di $m$ e $n$ in $\mathbb Z$ (dimostratelo!). Poniamo $\displaystyle f(m,n) = \frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}$, con $\displaystyle(m,n) \in \mathbb{Z^*}\times \mathbb{Z^*}$. Sia $a \in \mathbb{N}$ fissato. Allora $f(-a-1,-...

Se a \in (1,2) la disuguaglianza da dimostrare diventa \displaystyle \biggl(1+2\{a\} -\frac{1}{1+2\{a\}}\biggr)+\biggl(\frac{2+ \{a\}}{\{a\}}-\frac{\{ a\}}{2+\{a\}}\biggr) >\frac{14}{3} Faccio lo studio delle funzioni \displaystyle f(x)= 1+2x - \frac{1}{1+2x} e \displaystyle g(x)= \frac{2}{x} +\frac...

Determinare quali primi dividono infiniti numeri del tipo 1,11,111,1111,.. (chiamati appunto repunit, "repeated unit") Direi tutti i numeri primi tranne $2$ e $5$ (che $2$ e $5$ non possano essere considerati è banale: tutti i numeri della sequenza terminano con $1$) Prima di tutto, notia...

Non è difficile dimostrare che si ha $1 \in M$ e $2^{i n} \in M$ per ogni $i$ intero positivo. Sia $m \in \mathbb{N}$ generico ma fissato. Vogliamo dimostrare che $m \in M$. Se dimostro che $\exists x \in M$ tale che $x \in \bigl[ m^{2} , \left(m+1\right)^{2} \bigr)$ ho finito, dato che $\lfloor\sqr...