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Il realtà dato che i nostri coefficienti non sono quelli di grado divisibile per $3$, ma quelli congrui ad $1$ mod $3$, il polinomio che consideriamo non è il $p(x)$ del testo, ma bensì $x^2p(x)$ che ha i coefficienti "shiftati bene".

Corretto .

Il popolo degli uneF, per motivi apparentemente sconosciuti, ragiona spesso in base $3$. Durante una giornata di pioggia, il vecchio del villaggio (il cui nome rimarrà sconosciuto per almeno altre 3 settimane), si rese conto che: Detto $K$ il sottoinsieme di $[0, 1]$ contenente tutti i reali aventi ...

L'ho fatto velocemente a cena, dovrebbe essere corretto, aspetto risposte. Supponiamo $n\geq7$. Segue che, detto $f(n)=(n^2+11n-4)*n!+33*13^n+4$, allora valgono \begin{cases} f(n)\equiv 5*(-1)^n +4\equiv k^2 \pmod{7} \\ f(n)\equiv 5^n+4 \equiv k^2 \pmod{8}. \end{cases} La prima equazione ci porta a ...

Lascio un abbozzo di dimostrazione con Vieta's-Jumping. Riscriviamo l'espressione del testo come $\frac{m^2+m+n^2+n}{mn}=k$. Dimostriamo ora che, data una qualsiasi soluzione $(m, n, 3)$ è possibile ricavare una soluzione $(m', n', 3)$ tale che $min(m, n)<min(m', n')$. Cominciamo esibendo una soluzi...

Giusto .

Sia $d$ il massimo comun divisore dei numeri della forma $p^8-1$ con $p$ primo $>5$. Sia ora $q$ un primo che divide $d$. Notiamo che, se $q>5$ allora $q|q^8-1$, che è ovviamente falso dato che altrimenti $q|1$. Segue che $q\leq5$: $d$ avrà quindi solo fattori primi minori di $7$. Controlliamo ora p...

Comincia la lunga attesa. In bocca al lupo a tutti!

Diciamo che le risposte sono quelle ma... quando parlavo di "prendere familiarità" con i conti, intendevo letteralmente imparare a semplificare e lavorare con quelle espressioni.. Entrambi i problemi hanno risposte "chiuse", senza polinomi o somme. Prova a semplificare. Esempio: ...

Hai perfettamente ragione, ti ringrazio. Se non sbaglio dovrei poter correggere semplicemente assumendo ad inizio della dimostrazione $p, q$ coprimi, altrimenti mi basterebbe considerare la stessa partizione però per gli interi multipli di $mcd(p, q)$. Ciò mi porta alla concluzione che i $p, q$ vali...

Spero di averlo fatto giusto e di non aver sbagliato in qualche induzione, aspetto correzioni.. Dato che non sappiamo quali elementi appartengo ad $A, B, C$, diremo semplicemente che tre elementi stanno negli insieme $i, i+1, i+2$, dove questi indici sono visti in modulo 3 Ho cominciato costruendo u...

Benvenuto !

Questo (minuscolo) passaggio corrisponde alla piccolissima parte di dimostrazione da completare del problema $A6$ $PreIMO$ $Mattina$.. penso che, perlomeno fino al $23$, nessuno pubblicherà parte di soluzioni inerenti ai problemi

Scusate la domanda probabilmente banale, ma i giorni di inizio è fine sono saturi di lezione? Chi eventualmente dovrebbe prendere l'aereo , dovrebbe arrivare l'$1$ in maniera tale da essere presente la mattina del $2$, oppure le lezioni cominciano domenica sera? Ti rispondo sulla base di quanto acc...

Scusate, ma è possibile sapere le date esatte (sia inizio che fine) prima della chiusura delle iscrizioni? La risposta a questa domanda, a priori, è banale ed è no: evidentemente c'era un'incertezza logistica (lo stage coinvolge comunque una 70ina di partecipanti, per non parlare degli organizzator...