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Vi propongo questa soluzione del secondo punto. Affinché Alessia percorra esattamente $n$ passi si deve avere banalmente che $a+b=n$ con $(a;b)$ coordinate del punto di arrivo. A questo punto distinguiamo due casi: 1) $b\leq a$: dalla risoluzione del primo punto del problema si ottiene gratuitamente...

Ci tengo a proporre una mia soluzione in analisi perché è la prima volta che mi capita di usarla in un problema di tipo "olimpico". Tuttavia spero vivamente che ce ne sia una più corta e meno analitica. Supponiamo che il polinomio $P\in \mathbb{Z}[x]$ verifichi la condizione richiesta. Sup...

Vi propongo un'altra maniera di vedere il problema. In pratica ci viene chiesto: sia $p$ un polinomio a coefficienti interi. Sapendo che $\begin{cases} p\equiv 4 (\mod x+2)\\ p\equiv 8 (\mod x-2)\\ p\equiv 13 (\mod x+3)\\ \end{cases}$ e detto $r$ il resto di $p$ per $(x+2)(x-2)(x+3)$, determinare qu...

Propongo la mia soluzione nella speranza che sia corretta (mi scuso in anticipo per il fatto che è lunga: probabilmente si può accorciare). Vogliamo dimostrare che le uniche soluzioni sono $(2;2)$ e $(4;2)$. Come prima cosa verifichiamo che queste due sono soluzioni. Difatti $2^2 +(2-1-1)!=2^2 +1$ e...

A me viene un risultato differente. In pratica ci viene questo in quanti modi $6^{20}$ può essere scritto come prodotto di tre fattori a meno dell'ordine in cui vengono scelti. La tecnica (abbastanza standard) che propongo di conseguenza è la seguente: 1) troviamo quante sono le terne $(a,b,c)$ di n...

Vi propongo una soluzione di stampo euclideo (anche se ad un certo punto compare un po' di trigonometria). Si congiungano $E$ con $P$ e $D$ con $Q$ e denotiamo con $X$ il punto di intersezione fra $EP$ e $DQ$. Siano $S_1,S_2,S_3$ e $S_4$ rispettivamente le aree dei triangoli $PXQ,QXE,EXD$ e $DPX$. C...

Denotiamo con $F=\lbrace f: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} \vert \forall g:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}: g \hspace{1mm} suriettiva \Rightarrow f+g \hspace{1mm}suriettiva \rbrace$. Sia $f\in F$ e dimostriamo che $-f\in F$. Difatti $\forall g \hspace{1mm} suriettive: -(-g)+f \hspace{1mm} suriet...

Vi propongo una soluzione un po' più tecnica, apparentemente più lunga ma che forse semplifica un po' il numero dei casi da considerare. In pratica è come se ci venisse chiesto: trovare $a,b,c$ numeri naturali per cui $\begin{cases} a^2 -336=b^2\\ b^2-336=c^2\\ \end{cases}$\\ Dalla seconda equazion...