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Hai ragione, dovevo controllare meglio. Comunque: Applico la disuguaglianza di Jensen alla funzione convessa $f(x)= \frac {3}{\sqrt {x}}$ ottenendo: $$xf(y^2+1)+yf(z^2+1)+zf(x^2+1) \ge 3f\left(\frac{x^2z+y^2x+z^2y+x+y+z}{3}\right)=3k$$ Da cui: $$k=f\left(\frac{x^2z+y^2x+z^2y+3}{3}\right)$$ Per trova...

Inizio riscrivendo la disequazione come: $$\frac {x}{3}*\frac {3}{\sqrt{y^2+1}} + \frac {y}{3}*\frac {3}{\sqrt{z^2+1}} + \frac {z}{3}*\frac {3}{\sqrt{x^2+1}} \ge k$$ Applico la disuguaglianza di Jensen alla funzione f(x) = \frac {3}{\sqrt{x^2+1}} ricordando che \frac {x+y+z}{3} = 1 e che la funzion...

Stiamo discutendo la situazione in cui abbiamo 4 vertici collegati in questo modo: $a$ collegato a $b$, $c$ e $d$ $b$ collegato a $a$, $c$ e $d$ $c$ collegato a $a$ e $b$ $d$ collegato a $a$ e $b$ Per quanto detto prima, $n=3$ perchè i 3 insiemi sono {$a$}, {$b$} e {$c, d$}. Se aggiungo un quinto ve...

Pensavo non servisse una dimostrazione. Comunque se si pensa che esista una funzione $f(x)$ che associa a ogni vertice $x$ il suo insieme di appartenenza, si nota che se $f(a)=f(b)$ allora $a$ e $b$ non possono essere collegati. Nel caso assurdo in cui io abbia 4 vertici appartenenti a 4 insiemi div...

Sono possibili solo i casi $n=2$ e $n=3$. Chiamiamo $k$ il numero di vertici del nostro grafo. Notiamo prima di tutto che ci sono esattamente $k$ archi che collegano i vertici tra loro. Iniziamo dicendo che, essendo $k>0$, il caso $n=1$ non può verificarsi perchè due vertici collegati devono stare i...

Diamo delle coordinate alle varie caselle: lettere da $a$ a $g$ per le colonne e numeri da $1$ a $7$ per le righe, chiamando la casella nell'angolo in basso a sinistra $a1$. Considero separatamente le varie caselle: Se una delle 2 nere è quella centrale ($d4$) ho 12 colorazioni possibili ( \frac {7...

Potrei scriverla come $ \frac {n!} {(2n-1)!!} $
Non mi sembra ci siano altri modi per scriverla. Per chi non lo sapesse il doppio punto esclamativo indica il semifattoriale, cioè, in questo caso, il prodotto di tutti i numeri dispari da $1$ a $2n-1$.

Ciao, Io ho trovato questa soluzione: \displaystyle\prod_{k=1}^n \frac {k}{2k-1} In pratica è sufficiente considerare che alla prima persona dò prima un guanto qualsiasi, poi ne devo dare uno diverso, che posso scegliere tra gli $n$ rimasti di tipo "diverso" su $2n-1$ totali, poi vado avan...