OliForum Matematico

sono alla ricerca di un esempio di problema che se ragionato in modo diretto sembra impossibile mentre se ragionato al contrario diventa semplicissimo, deve essere un problema capibile da chiunque ma profondo, esempio nelle probabilità a volta calcolare l'evento contrario semplifica di molto la vita...

per quanto detto fino ad adesso $n$ è uguale a $1$ oppure deve essere pari, più precisamente una potenza di $2$. quindi $n=2^{2^t\cdot (2k+1)}$ e $n^n+1=2^{2^t\cdot (2k+1)\cdot 2^{2^t\cdot (2k+1)}}+1=2^{2^{t+2^t(2k+1)}\cdot (2k+1)}+1=(2^{2^{t+2^t(2k+1)}})^{(2k+1)}+1$ ma questo è divisibile per $2^{2...

per rispetto alla fatica di chi l'ha scritto.

effettivamente $n$ deve essere una potenza di $2$ infatti se non lo fosse allora $n=t^m$ dove $t=(2^k\cdot m)^{2^k}$ e $m$ è un numero dispari.
Essendo dispari $t^m+1=(t+1)(t^{m-1}-t^{m-2}\cdots -t+1)$.
Ora vi resta da cercare il primi nelle potenze di $2$ e ''basta''

vorrei sapere ,soprattutto da quelli che ci sono passati, quanto è utile all'università saper risolvere problemi come quelli proposti alle imo ovvero avere una formazione olimpionica alle spalle. Per esempio nella ricerca matematica o nella risoluzione di problemi molto più complicati.

qualcuno ha il testo della gara ?

Mi è venuto in mente questo problema che pur sembrando facile non riesco a dimostrare. Supponi ci siano $2n$ punti nel piano (senza che ce ne siano 3 collineari ), di questi $n$ sono bianchi e $n$ sono neri. Dimostra che esiste una retta tale che divide il piano in due parti ognuna avente lo stesso ...

trovare tutti i primi della forma $n^n+1$ che sono $<10^{19}$.

ok grazie e invece riguardo alla seconda domanda?

scusate l'ignoranza ma ho comprato l'engel però sui vettori ci sono un po' di cose dubbie(premettendo che sono un perfetto ignorante in materia: per esempio guardate in questo link a pag290 : http://micheleandreoli.org/public/Didattica/olimat/Libri/Engel_A._Problem-solving_strategies_for_math_olympi...

premettendo che la mia conoscenza di geometria si limita a quella sintetica e che non so niente nè di complessi nè di trasformazioni, c'è una raccolta di problemi(non difficilissimi) che ti permetta di vedere le trasformazioni applicate , perchè più che altro leggendo le definizioni di omotetie inve...

ah è vero.
provo ad aggiustare.
se $f(x)=f'(1)\ln x +c$ allora sostituendo nell'equazione iniziale (ponendo $x=y$) ottengo: $f(x^2)=2f(x)\to f'(1)\ln {x^2}+c=2f'(1)\ln x+2c$ da cui $c$ deve per forza essere zero.
ditemi se c'è qualche altro errore

ok un po' mi sono chiarito, ho trovato anche quest'altro modo: con $f:\mathbb{R_+}\to\mathbb{R}$ assumi che $f$ è derivabile (quindi anche continua). allora tenendo $y$ fissata deriviamo per $x$, ottenendo :\begin{equation} yf'(xy)=f'(x). \end{equation} per $x=1$ uno ottine $yf'(y)=f'(1)$, cambiando...

allora prendiamo : \begin{equation}f(xy)=f(x)+f(y) \end{equation} con $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ trovi facilmente $f(0)=0$ e poi sostituendo a $y$ zero trovi che $f(x)=0$ per ogni $x$. come si fa a far venire fuori la funzione logaritmica, cioè con quale ragionamento capisci che $f(x)=0$ non è l'un...

ho trovato questo problemino che dovrebbe essere semplice e sicuramente lo è. lo scrivo esattamente come viene enunciato: if none of the numbers $a,a+d,\cdots,a+(n-1)d$ is divisible by $n$, then $d$ and $n$ are coprime. I numeri sono $n$, tuttavia nessuno di essi è congruo a zero$\pmod{n}$ quindi si...