OliForum Matematico

L'approccio chiaramente funziona. Tuttavia credo che si potrebbe anche esplicitare l'espressione finale dei due membri (senza denominatori); a priori infatti non è banale immaginare che basti solo svolgere i conti per avere uguaglianza, dal momento che BP+CP=BC non è l'unica restrizione su AP, BP, C...

Come settantesimo problema ho pensato di introdurre una configurazione molto carina, che offre spunti assolutamente interessanti. Gli appassionati e gli esperti riconosceranno certamente le somiglianze con il teorema di Sawayama-Thebault. Dunque: Sia ABC un triangolo e D un punto appartenente al seg...

Supponiamo che le parallele a r per A, B intersechino la circonferenza in R, S rispettivamente e che M=SA\cap r e N=RB\cap r . Allora se X=PA\cap BS e Y=PB\cap AR , i triangoli CMA e PBX sono simili (per ovvio calcolo con gli angoli), da cui CM=\frac{PX\cdot MA}{PB} ; in maniera del tutto simmetrica...

Fonte: Mathlinks; l'ho anche visto come lemma in un articolo in cui si dimostrava il teorema di Lester.

Difficoltà: chiaramente ognuno può avere impressioni leggermente differenti, ma in generale direi circa 3 - 4.

Ecco il nuovo problema; secondo la mia opinione dovrebbe essere molto più facile del precedente. Sia ABC un triangolo; chiamiamo D il simmetrico di B rispetto ad AC ed E il simmetrico di C rispetto ad AB . Consideriamo la tangente in A a \odot(ADE) e supponiamo che intersechi BC in X e DE in Y . Dim...

A grande richiesta, scrivo uno sketch di soluzione (vale a dire i passaggi fondamentali, senza tutti i dettagli e le dimostrazioni rigorose). Dunque, in sequenza: 1) Il problema è simmetrico in X e Y ; allora consideriamo il triangolo \mathcal{T}_3 che ha come vertici le seconde mutue intersezioni d...

Propongo l'approccio più semplice.

Per gli enti geometrici utilizzati, vedere http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f=14&t=16860 Dimostrerò il seguente \textbf{Fatto generale:} Sia dato un triangolo ABC , con circocentro O e ortocentro H ; sia h la retta di Eulero di ABC ( OH ). Se h incontra i lati BC, CA, AB nei punti D,E,F risp...

Sia dato un cerchio \Omega nel piano, di centro O . Sia \Gamma un secondo cerchio passante per O e X,Y \in \Gamma due punti tali che OX=OY . Sia infine O' il diametralmente opposto di O in \Gamma . Prendiamo tre punti P_1,P_2,P_3 su \Gamma . Chiamiamo Q_1 uno dei due punti di intersezione di O'P_1 c...

Per la questione del punto di Miquel vedere qui ("Teorema di Miquel del quadrilatero completo"): viewtopic.php?f=14&t=16860. La dimostrazione è per angoli.

Sia O il centro di \odot(ABC) e M il punto medio di QT . Chiamiamo E il punto di Miquel del quadrilatero completo ABCRSU . Se QR=ST allora M è anche il punto medio di RS e quindi OM è asse di RS . Visto che E\in\odot(ABC) anche l'asse di AE passa per O : se questi due assi non coincidessero, O sareb...

Il problema seguente mi pare bello da proporre perchè, oltre a quella tramite l'uso delle coordinate baricentriche, ammette anche una soluzione sintetica piuttosto interessante che non fa uso di niente di più di quello che si impara ai corsi basic dello stage Senior. Dunque: "Sia dato un triang...

Determinare tutte le coppie $f,g$ di funzioni dai reali positivi in sè tali che

$ f(g(x))=\displaystyle{\frac{x}{xf(x)-2}}\quad $ e $ \quad g(f(x))=\displaystyle{\frac{x}{xg(x)-2}} $

per ogni $ x $ reale positivo.

Determinare tutte le funzioni $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ tali che

$ f(x+yf(x))=f(x)+xf(y) $

per tutti gli $ x, y \in\mathbb{R} $

Siano M, N i punti di tangenza dell'exinscritta opposta ad A con AB, AC rispettivamente. Poichè BM=BF , CN=CF e AM=AN vale AM=AN=\frac{AM+AN}{2}=\frac{(AB+BM)+(AC+CN)}{2}=\frac{AB+BF+AC+CF}{2}=s ; segue che se chiamiamo \Theta la circonferenza di centro A e passante per M, N vale D, E\in\Theta .Ora ...