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Intanto poniamo \displaystyle~b_n=(a_n,a_{n+1}) per ogni \displaystyle~n\ge 0 . Consideriamo la sequenza \displaystyle~\{c_n\} con \displaystyle~c_0=b_0 e \displaystyle~c_{n+1}=\textrm{lcm}(b_n,b_{n+1}) per ogni \displaystyle~n\ge 0 . Questa rispetta ancora tutte le ipotesi: dato che \displaystyle~b...

Problema 72. Prendiamo un intero n dispari maggiore di 3. Siano k e t i più piccoli interi positivi tali che $ \displaystyle~kn+1 $ e $ \displaystyle~tn $ sono entrambi quadrati perfetti. Mostratemi che n è primo sse k e t sono entrambi $ \displaystyle~>\frac{n}{4} $

Per il 2 ce n'è una più breve ed elegante: Sia \displaystyle~s=\frac{p-1}{2} . Scriviamo queste equazioni: \displaystyle~1 = (-1)(-1)^1 \displaystyle~2 = 2(-1)^2 \displaystyle~3 = (-3)(-1)^3 \displaystyle~4 = 4(-1)^4 e così via fino a s. Moltiplichiamo tutte queste equazioni. Il primo membro dell'eq...

Molto bene. Provo a risolvere il 71: Step 1. Possiamo scrivere \displaystyle~n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_m^{e_m} , con \displaystyle~m\ge 2 e \displaystyle~p_j>2 primo per ogni j. Step 2. Dobbiamo scoprire qualche cosa di più sugli i \displaystyle~\pmod n che soddisfano la richiesta. Osserviamo che...

Bene allora
Problema 70. Mostrare che ogni razionale positivo è uguale a $ \displaystyle~\frac{a^3+b^3}{c^3+d^3} $ per qualche quaterna $ \displaystyle~(a,b,c,d) $ di interi positivi.

kn ha scritto:Chi ci svela il motivo profondo per cui tutti i multipli di 3 finiscono in 153?

Quando posti spunta la casella Disabilita HTML nel messaggio
Chi ci svela il motivo profondo per cui tutti i multipli di 3 finiscono in 153?

b) Preso un qualsiasi multiplo di 3, prendiamo la somma dei cubi delle sue cifre e poi la somma dei cubi delle cifre di tale somma e così via, iterativamente. Mostrare che si arriva in un numero finito di passi sempre ad un unico numero, che ovviamente è tra quelli trovati al punto precedente (e pe...

ok, non avendo idea di cosa postare metto un problema preso dalla finale della gara a squadre di quest'anno che io non sono riuscito a risolvere in modo decente, quindi spero che qualcuno trovi una bella soluzione: Problema 69 : trovare tutte le terne di interi positivi a,b,c tali che \displaystyle...

Sì, ponendo x=y+1 basta mostrare che \displaystyle~27^y+6\cdot 6^y+1\neq 8\cdot 8^y per \displaystyle~y\neq 0,1 . Ma ciò segue dal fatto che \displaystyle~\frac{1}{8}\cdot 27^y+\frac{6}{8}\cdot 6^y+\frac{1}{8}\cdot 1^y>\left(\frac{1}{8}\cdot 27+\frac{6}{8}\cdot 6+\frac{1}{8}\cdot 1\right)^y=8^y per ...

Qualcuno conosce una soluzione (intendo una terna)?

Penso che sui problemi di ammissione al Senior si possa discutere anche sul forum, tanto c'è già la soluzione nei video (e poi è il problema di TdN olimpica più difficile che abbia mai visto )

Si può usare un fatto semplice e carino saltato fuori recentemente..

a) Dimostro come sprmnt21 che \displaystyle~AA'' è simmediana, cioè che, detta \displaystyle~T_A l'intersezione delle tangenti in B e C, \displaystyle~A,A'',T sono allineati (grazie al lemma della simmediana). Sia \displaystyle~\Gamma la circonferenza per A, B e C e sia \displaystyle~R l'intersezion...

Dette H e K le proiezioni di B e D su AC e usando i segmenti "orientati" abbiamo per Carnot \displaystyle~AH=AB\cos\widehat{BAC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AC} . Allo stesso modo \displaystyle~AK=AD\cos\widehat{DAC}=\frac{AD^2+AC^2-DC^2}{2AC} , quindi \displaystyle~AH=AK , visto che \displayst...