OliForum Matematico

Allora, non ho letto la "mezza soluzione meno un po'" di sopra, quindi parte delle cose che scriverò saranno già state dette. Risolvendo $x_i(x_i + 1) = x_{i + 1}(x_{i + 1} - 1)$ in $x_{i + 1}$ otteniamo $\displaystyle x_{i + 1} = \frac{1 \pm (2x_i + 1)}{2}$, quindi $x_{i + 1} = -x_i$ oppu...

Wops, il primo, grazie della segnalazione! (E buona Pasqua )

Sia $ABC$ un triangolo e sia $m$ una retta che incontra i lati $AC$ e $AB$ in punti ad essi interni $E$ ed $F$, rispettivamente, e che interseca la retta $BC$ in un punto $D$ tale che $C$ è compreso tra $B$ e $D$. Le parallele ad $m$ per $A$, $B$, $C$ intersecano nuovamente la circoscritta ad $ABC$ ...

Invece è un BMO (ma va'...)

Ok, bella! :) Metto la mia. Chiamiamo $\displaystyle p + \frac{1}{qr} = a$ e cicliche, e sia $P = pqr$. Si nota facilmente che $\displaystyle abc = \frac{(P + 1)^3}{P^2}$ è intero. Quindi $P$ è radice del polinomio a coefficienti interi $f(x) = x^3 + (3 - abc)x^2 + 3x + 1$, dunque per il teorema del...

Mi sento insultato tantissimo

Trovare e uccidere tutte le terne ordinate $(p, \: q, \: r)$ di razionali positivi tali che $$p + \frac{1}{qr}, \quad q + \frac{1}{rp}, \quad r + \frac{1}{pq}$$ siano interi.

Comunque se tu sei chi penso io e il problema è quello che penso io ti serve solo la freccia che va verso sinistra (quella giusta). E se lui non fosse stato chi pensavi tu, ma il problema quello che pensavi tu? Mah, andando più o meno per esclusione credo sia abbastanza impossibile che le due cose ...

Addirittura, diggià l'ammissione al Senior! :P Allora, quella doppia freccia non è tanto vera... Comunque se tu sei chi penso io e il problema è quello che penso io ti serve solo la freccia che va verso sinistra (quella giusta). Probabilmente non è necessario che lo dimostri, se lo enunci bene, veri...

Complimenti a tutti! Direi che una menzione speciale va fatta al lavoro nella coordination, visto che i punteggi finali sono stati per lo più diversi (in positivo) rispetto a quelli claimati...

LucaMac ha scritto:La mensa della normale

Viola*

Vabbè comunque: impressioni sul day 2 (di gara)?

LucaMac ha scritto:Codesta mensa è un luogo oscuro e senza razionalità in cui ogni giorno vengono serviti cibi di dubbia provenienza e dubbia sicurezza

Suona familiare...

Anche perché si dimostra facilmente che $m \ge 2016$...
Invece per $15$ il minimo non è $24$, si può anzi dire che è al più $20$.

Sia $X = \{1, \: 2, \: 3, \: \dots, \: 2^{2015} - 1\}$ e sia $Y$ un sottoinsieme di $X$ con le seguenti proprietà:     (i) $1, \: 2^{2015} - 1 \in Y$;    (ii) Ogni elemento di $Y$ diverso da $1$ si può scrivere come somma di altri due elementi di $Y$ (non necessariamente distinti). Sia $m$ la minima...

Buona fortuna ragazzi!