OliForum Matematico

A quel problema ottenni solo due punti... vediamo se riesco a riscattarmi. :lol: Scriviamo p+q^2=a^2 e p^2+q^n=b^2 , con (a,b,n) \in \mathbb N_0^3 . Osserviamo subito che p \neq 2 : in caso contrario la prima equazione non tornerebbe modulo 4 . D'altronde, anche q \neq 2 : se così non fosse, si avr...

Dimostrare che un primo dispari [math]p può essere espresso come somma di due quadrati interi se e solo se [math]p \equiv 1 \mod 4.

Una soluzione come quella analitica di Leonhard Euler sarebbe accettata in gara?

Yep

Non posso che quotare: poca N è sempre un male.

Triennio, penso 87.

Penso che sia ora di aprire il thread di quest'anno.
In bocca al lupo a tutti!

Sì, esatto. Dato che il margine è di più o meno un posto, l'n+1 esimo posto può essere occupato solo dall'n esimo o dall'n+1 esimo spettatore.

UP!

Dimostro che la successione a_n , che associa a n posti a sedere e spettatori il numero di disposizioni possibili, si comporta come la successione di Fibonacci. Osserviamo dapprima che a_1=1 e a_2=2 . Dopodiché, per induzione, supponiamo che per n-1 posti siano possibili a_{n-1} disposizioni e che p...

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\prod_{j=0}^m (k+j)}=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\prod_{j=0}^m (k+j)} =\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n}{\frac{(k-1)!}{(k+m)!}}=\lim_{n\to +\infty}[\frac{0!}{(m+1)!}+\frac{1!}{(m+2)!}+ \dots +\frac{(n-1)!}{(n+m)!}] =\displaysty...

Dovrebbe essere Se mi confermi che è corretto, posto il procedimento.

Cerca "AM-GM", anche qui sul forum.

Lascio un hint:

Questo problema fu postato sul forum un po' di anni fa, ma nessuno rispose mai con una soluzione completa. L'ho trovato davvero istruttivo, quindi ve lo ripropongo:
Determinare tutti gli n interi positivi tali che esista m intero per cui [math]2^n-1 | m^2+9.
Buon lavoro^3.