OliForum Matematico

Eh ti ho detto che qualche typo del cazzo ci sarebbe stato ahaha.

Mi scuso per eventuali typo, scrivere sto schifo senza sbagliare è al limite dell'impossibile. Lemma noto : $\sum_{j=1}^{\frac{p-1}{2}} j^{2n} \equiv 0 \pmod p$ per ogni $n$ tale che $2n \neq p-1$. Se $p \equiv 1 \pmod 4$ allora la produttoria è congrua a $0$. Infatti, se $p \equiv 1 \pmod 4$ si ha...

Lemma 1 : Siano $n$ e $m$ i gradi dei polinomi $p$ e $q$ rispettivamente e supponiamo $n,m > 0$. Ora, se i polinomi $p,q$ soddisfano l'equazione del testo, vale $n=m$. Dimostrazione : Siano $a_0,a_1,\cdots,a_n$ e $b_0,b_1,\cdots,b_m$ due successioni di numeri reali tali che $p(x) = a_0 + a_1x + \cd...

Ho scritto tutto di fretta e la figura l'ho fatta a mente, erano probabili errori di questo tipo XD. Per la prima cosa , ho sbagliato a scrivere, intendevo QM =m ecc. proprio come hai detto tu. Bho la seconda considerazione l'ho fatta per non avere problemi con i segni quando toglievo le radici nell...

Sia $ABCD$ il quadrilatero, dove $AB=a$ e cicliche. Sia $x=BD$ e $y=AC$. Notiamo allora che valgono le seguenti diseguaglianze $y+c>b$ e $a+d>y$ per la disuguaglianza triangolare, da cui $a+d>b-c$ (1) con wlog $b = \max\{a,b,c,d\}$. Siano ora $m,n,p,q$ reali corrispondenti ad una permutazione dei r...

Oh che bello! Questo non l'avevo mai visto, mi è piaciuto ;) Da dov'è preso? Dimostro che le uniche coppie buone sono $(2,3)$ e $(2,7)$. Supponiamo per assurdo che sia $a$ che $b$ siano dispari. Allora per il piccolo teorema di Fermat si ha che $a+19\equiv0\pmod{b}$ e che $b-19\equiv0\pmod{a}$. Scr...

Only $b$.

Siano $a,b$ due numeri primi. Risolvere $$a^b-b^a=ab^2-19$$

Ok grazie xD

Per prima cosa dimostriamo che il punto d'intersezione fra $B'E$ e $C'F$ sta sulla circoscritta ad $ABC$. Per dimostrarlo supponiamo di avere solo $E$ fissato su $AC$ e chiamiamo $Q$ l'intersezione fra $B'E$ e la circoscritta e sia $F$ l'intersezione fra $AB$ e $QC$. Notiamo che vale $\angle EAF = ...

Esatto, quindi più che dimostrarlo dico che è un numero primo noto

Dalla ciclicità di $ABCD$ ho $\angle ABD = \angle ACD$. Per il teorema del coseno ottengo $$AB^2 + BD^2 - 2\cdot AB\cdot BD \cdot \text{cos(}\angle ABD \text{)} = DC^2 + AC^2 - 2\cdot DC\cdot AC \cdot \text{cos(}\angle ACD \text{)}$$ ma poichè $BD=DC$ e $\angle ABD = \angle ACD$ per quanto detto pri...

I residui terzi modulo $7$ sono $1$ e $-1$ e $0$ ma trattiamo il caso $p=7$ dopo. . Se $p^3 \equiv 1 \pmod 7$ ottengo che $p^3+6 \equiv 0 \pmod 7$. Quindi ora vediamo il caso in cui $p^3 \equiv -1 \pmod 7$. Allora $p \equiv 3,5,6 \pmod 7$. Ora se $p \equiv 3 \pmod 7$ ottengo che che $p^2-2 \equiv 0 ...

Uguale alla mia, vai pure

Prendiamo $n=3^{2^k}-2^{2^k}$ con $k$ intero $\ge 2$. Notiamo che $$n=\prod_{i=0}^{k-1}( 3^{2^i} + 2^{2^i} )$$poichè $k \ge 2$ i termini della produttoria maggiori di $1$ sono almeno $2$ e quindi $n$ è composto. Lemma : $v_2(3^{3^{2^k}-2^{2^k}-1}-2^{3^{2^k}-2^{2^k}-1}-1)=k+2$ per qualsiasi $k \ge 2...