Inviato: 01 gen 1970, 01:33
Come tutti sapete le prove sono terminate ieri...
<BR>Quindi innanzitutto ecco i testi dei problemi:
<BR>
<BR>Primo Giorno:
<BR>
<BR>1. Sia ABC un triangolo acutangolo con AB!=AC. Il cerchio di diametro BC incontra i lati AB e AC in M e N rispettivamente. Chiamiamo O il punto medio del lato BC. Le bisettrici degli angoli BAC e MON si incontrano in R. Dimostrare che le circonferenze circoscritte dei triangoli BMR e CNR hanno un punto in comune che sta sul lato BC.
<BR>
<BR>2. Trovare tutti i polinomi f a coefficienti reali tali che per tutti i reali a, b, c tali che ab+bc+ca=0 siano verificate le seguenti relazioni
<BR> f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c)
<BR>
<BR>3. Definiamo un uncino la figura composta di sei quadrati di lato unitario ottenuta togliendo a un quadrato 3*3 il quadrato centrale e i due in basso a destra e tutte le figure ottenute applicando rotazioni e riflessioni alla figura.
<BR>
<BR>Determinare tutti i rettangoli m*n che possono essere coperti con gli uncini senza buchi e senza sovrapposizioni tali che
<BR> - il rettangolo è coperto senza buchi e sovrapposizioni (meglio ripetersi...)
<BR> - nessuna parte dell\'uncino copre l\'area fuori dal triangolo
<BR>
<BR>Secondo Giorno:
<BR>
<BR>4. Sia n>=3 un intero. Siano t1, t2, ..., tn numeri reali positivi tali che
<BR> n^2 + 1 > (t1 + t2 + ... + tn)(1/t1 + 1/t2 + ... + 1/tn)
<BR>
<BR>Dimostrare che ti, tj, tk sono i lati di un triangolo per tutti gli i, j, k con n>=k>j>i>=1
<BR>
<BR>5. In un quadrilatero convesso ABCD la diagonale BD non è bisettrice né di ABC bé di CDA. Un punto P sta in ABCD ed è tale che
<BR> BDA>=PDC e DBA>=PBC
<BR>Provare che ABCD è un quadrilatero ciclico se e solo se AP=CP.
<BR>
<BR>6. Un intero positivo è chiamato \"alternante\" se ogni due cifre consecutive nella sua rappresentazione decimale sono di differente parità.
<BR>
<BR>Trovare tutti gli interi n tali che n ha un multiplo \"alternante\"
<BR>
<BR>
<BR>Attendo notizie dalla squadra italiana!
<BR>
<BR>Selihuth Muessel Keil Mihn
<BR>Edit: così is better? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 15-07-2004 13:23 ]
<BR>Quindi innanzitutto ecco i testi dei problemi:
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<BR>Primo Giorno:
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<BR>1. Sia ABC un triangolo acutangolo con AB!=AC. Il cerchio di diametro BC incontra i lati AB e AC in M e N rispettivamente. Chiamiamo O il punto medio del lato BC. Le bisettrici degli angoli BAC e MON si incontrano in R. Dimostrare che le circonferenze circoscritte dei triangoli BMR e CNR hanno un punto in comune che sta sul lato BC.
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<BR>2. Trovare tutti i polinomi f a coefficienti reali tali che per tutti i reali a, b, c tali che ab+bc+ca=0 siano verificate le seguenti relazioni
<BR> f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c)
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<BR>3. Definiamo un uncino la figura composta di sei quadrati di lato unitario ottenuta togliendo a un quadrato 3*3 il quadrato centrale e i due in basso a destra e tutte le figure ottenute applicando rotazioni e riflessioni alla figura.
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<BR>Determinare tutti i rettangoli m*n che possono essere coperti con gli uncini senza buchi e senza sovrapposizioni tali che
<BR> - il rettangolo è coperto senza buchi e sovrapposizioni (meglio ripetersi...)
<BR> - nessuna parte dell\'uncino copre l\'area fuori dal triangolo
<BR>
<BR>Secondo Giorno:
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<BR>4. Sia n>=3 un intero. Siano t1, t2, ..., tn numeri reali positivi tali che
<BR> n^2 + 1 > (t1 + t2 + ... + tn)(1/t1 + 1/t2 + ... + 1/tn)
<BR>
<BR>Dimostrare che ti, tj, tk sono i lati di un triangolo per tutti gli i, j, k con n>=k>j>i>=1
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<BR>5. In un quadrilatero convesso ABCD la diagonale BD non è bisettrice né di ABC bé di CDA. Un punto P sta in ABCD ed è tale che
<BR> BDA>=PDC e DBA>=PBC
<BR>Provare che ABCD è un quadrilatero ciclico se e solo se AP=CP.
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<BR>6. Un intero positivo è chiamato \"alternante\" se ogni due cifre consecutive nella sua rappresentazione decimale sono di differente parità.
<BR>
<BR>Trovare tutti gli interi n tali che n ha un multiplo \"alternante\"
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<BR>Attendo notizie dalla squadra italiana!
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<BR>Selihuth Muessel Keil Mihn
<BR>Edit: così is better? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 15-07-2004 13:23 ]