Dopo settimane, forse ho trovato una dimostrazione (e formalizzarla è stato davvero un casino!).
Tutte le sommatorie sono da intendersi
simmetriche nelle loro variabili.
Siano $a_i$ le n variabili, $\alpha_i$ i loro n esponenti, sia k il numero di variabili che compaiono nel polinomio preso in considerazione.
Sia inoltre $ S_i=\sum a_1\cdots a_i $ l'i-esimo polinomio simmetrico elementare.
Considero le somme
simmetriche su n variabili del tipo $ \sum a_1^{\alpha_1} a_2^{\alpha_2}\dots a_k^{\alpha_k} $ con $ k\leq n $ che chiamerò "somme omogenee". Chiaramente a partire da queste riesco a scrivere ogni altro polinomio non omogeneo.
Date due somme
simmetriche dico che la prima è meno omogenea della seconda se valgono le seguenti condizioni (le successioni degli esponenti $\{\alpha_i\}$ e $\{\beta_i\}$ sono debolmente decrescenti):
$$\alpha_1 \geq \beta_1, \alpha_1+\alpha_2 \geq \beta_1+\beta_2, \dots, \alpha_1+\dots +\alpha_{n-1} \geq \beta_1+\dots +\beta_{n-1}, \alpha_1+\dots +\alpha_n = \beta_1+\dots +\beta_n$$
(chiaramente deve valere almeno una disuguaglianza stretta, altrimenti le somme sono identiche).
Ragiono per induzione sull'omogeneità dei fattori: suppongo di saper costruire tutte le somme omogenee di grado inferiore o più omogenee del polinomio preso in considerazione e dimostro che, a partire da quelle, riesco a ricavare la mia somma omogenea di partenza.
Passo base: so scrivere tutto il grado 1 (c'è solo la somma delle singole variabili).
Passo induttivo: scrivo la somma omogenea di partenza come
$$\sum a_1^{\alpha_1}\dots a_k^{\alpha_k}=S_k^{\alpha_k} S_{k-1}^{\alpha_{k-1}-\alpha_k}\cdots S_1^{\alpha_1-\alpha_2}-P(a_1,\dots ,a_n)$$ dove P è un polinomio simmetrico negli $a_i$ che devo dimostrare essere costituito da termini più omogenei o di grado inferiore al polinomio di partenza.
La scelta degli esponenti sarà (si spera
) chiarita dal ragionamento successivo: in ogni caso sto scegliendo gli esponenti degli $S_i$ in modo che, per ogni $ i\leq k $, $S_i$ compaia $\alpha_i-\alpha_{i-1}$ volte. Così, ad esempio (quattro variabili):
$\sum a^7b^3c = (abc+abd+acd+bcd)(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2(a+b+c+d)^4 -Q(a,b,c,d)$
per un certo Q simmetrico nelle sue quattro variabili (qui ci sarebbe la questione della molteplicità dei termini, ma si vede subito che funziona anche nell'altro caso).
La somma che mi interessa è ottenibile massimizzando il grado di ogni singola variabile (ricordo che sto scegliendo gli $\alpha_i$ in modo che siano in successione debolmente decrescente): infatti per costruirla scelgo sempre $a_1$, scelgo $a_2$ ovunque tranne che negli $S_1$, e in generale scelgo $a_i$ in $S_n, S_{n-1},\dots , S_{i}$ e ragionando analogamente permutando gli $a_i$ ottengo ogni altro termine della somma omogenea di partenza. Ogni scelta differente di un monomio in un qualsiasi fattore del prodotto porta quindi ad una diminuzione del grado di almeno un $a_r$ e porta all'aumento di quello di almeno un $a_s$ con $r<s$, quindi il monomio risultante (e tutte le permutazioni delle sue variabili) è più omogeneo di quello di partenza. Posso quindi scrivere il polinomio omogeneo di partenza come un prodotto di polinomi simmetrici elementari a cui sottraggo sempre somme
simmetriche più omogenee o di grado inferiore, quindi l'ipotesi induttiva è verificata (si spera di nuovo!
).
) mi pare il caso di proporlo... tra l'altro mi pare che non sia mai stato dimostrato in questo forum 
