Strana successione

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Bermoore
Messaggi: 3
Iscritto il: 15 set 2017, 22:29

Strana successione

Messaggio da Bermoore » 25 gen 2018, 14:00

Siano $ d_1,d_2 \dots d_n $ numeri reali positivi, con $ n\ge 2 $. Si trovi una condizione necessaria e sufficiente sui $ d_i $ perché esista una successione $ p_0,p_1 \dots p_n $ di punti sul piano euclideo tali che

1) per ogni $ i=1, \dots ,n $ la distanza tra $ p_{i-1} $ e $ p_i $ è uguale a $ d_i $

2)$ p_n =p_0 $

Nella foto un esempio di successione con $ n=5 $.
Allegati
IMG_0553.JPG
IMG_0553.JPG (14.38 KiB) Visto 1982 volte

Nadal21
Messaggi: 155
Iscritto il: 12 mar 2015, 15:30

Re: Strana successione

Messaggio da Nadal21 » 27 gen 2018, 09:14

Questa strana successione è l'esercizio 3 di SNS 2017.
Nessuno che riesca o abbia voglia di farlo? :D

Paperottolo
Messaggi: 38
Iscritto il: 01 nov 2017, 09:25

Re: Strana successione

Messaggio da Paperottolo » 27 gen 2018, 21:45

cavolo è davvero difficile!

Michael Pasquini
Messaggi: 14
Iscritto il: 24 mar 2017, 15:57

Re: Strana successione

Messaggio da Michael Pasquini » 11 mar 2018, 19:09

Intanto direi che si può partire da questa considerazione:
[math]

Michael Pasquini
Messaggi: 14
Iscritto il: 24 mar 2017, 15:57

Re: Strana successione

Messaggio da Michael Pasquini » 13 mar 2018, 09:18

Se qualcuno ha una risposta la dia, perché sono davvero curioso

fph
Site Admin
Messaggi: 3453
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Strana successione

Messaggio da fph » 13 mar 2018, 09:37

Sai fare il caso n=3, per esempio?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Michael Pasquini
Messaggi: 14
Iscritto il: 24 mar 2017, 15:57

Re: Strana successione

Messaggio da Michael Pasquini » 13 mar 2018, 21:33

Disuguaglianze triangolari?

fph
Site Admin
Messaggi: 3453
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Strana successione

Messaggio da fph » 14 mar 2018, 09:24

Esatto! Ora passiamo a n=4. Sai identificare subito qualche caso che non funziona?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Michael Pasquini
Messaggi: 14
Iscritto il: 24 mar 2017, 15:57

Re: Strana successione

Messaggio da Michael Pasquini » 15 mar 2018, 17:36

Sinceramente non lo so

Michael Pasquini
Messaggi: 14
Iscritto il: 24 mar 2017, 15:57

Re: Strana successione

Messaggio da Michael Pasquini » 15 mar 2018, 17:36

Sinceramente non lo so

fph
Site Admin
Messaggi: 3453
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Strana successione

Messaggio da fph » 15 mar 2018, 19:03

Pensa di nuovo a cosa succede con la disuguaglianza triangolare. Se per esempio $d_1$ fosse molto più grande degli altri tre?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Vinci
Messaggi: 153
Iscritto il: 30 gen 2015, 18:38

Re: Strana successione

Messaggio da Vinci » 17 mar 2018, 10:14

In generale non funziona se c'è un $d_i$ tale che $d_i>\sum_{j\ne i}d_j$. Quindi la condizione "$\forall i\quad d_i\le \sum_{j\ne i}d_j$ è condizione necessaria. Infatti se per assurdo ci fosse un $d_i$ che non rispetta questa condizione, la spezzata formata da tutti gli altri $d_j$ uniti con un estremo su un estremo di $d_i$ dovrebbe stare tutta nel cerchio che ha per centro quell'estremo e per raggio $R=\sum_{j\ne i}d_j$, ma l'altro vertice sarebbe fuori da questo cerchio, e quindi sarebbe impossibile soddisfare la seconda condizione.

Questo è quello che ho scritto io alla prova (forse lo ho scritto meglio di come sta qua xD), ma non riuscii a dimostrare che è condizione sufficiente.

fph
Site Admin
Messaggi: 3453
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Strana successione

Messaggio da fph » 17 mar 2018, 10:28

OK. Mi piace come l'hai scritto perché è un argomento che si "rovescia" facilmente. Se questa fosse l'unica condizione, allora ci rimane soltanto da provare che (supponendo WLOG $i=1$) si riesce a "raggiungere" tutti i punti in un cerchio di raggio $R=\sum_{j=2}^n d_j$ con una spezzata con lunghezze $d_2,\dots,d_n$.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Nadal21
Messaggi: 155
Iscritto il: 12 mar 2015, 15:30

Re: Strana successione

Messaggio da Nadal21 » 19 mar 2018, 16:55

fph ha scritto:
17 mar 2018, 10:28
OK. Mi piace come l'hai scritto perché è un argomento che si "rovescia" facilmente. Se questa fosse l'unica condizione, allora ci rimane soltanto da provare che (supponendo WLOG $i=1$) si riesce a "raggiungere" tutti i punti in un cerchio di raggio $R=\sum_{j=2}^n d_j$ con una spezzata con lunghezze $d_2,\dots,d_n$.
... ci rimane "soltanto" .... Ma non è così semplice :oops: questo "soltanto" :(

fph
Site Admin
Messaggi: 3453
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Strana successione

Messaggio da fph » 19 mar 2018, 17:35

Beh, e in realtà non è neanche neppure del tutto vero, bisogna pensarci su ancora un attimo. Ma prova a semplificare il problema il più possibile. Quali punti del piano si riesce a raggiungere con una stecca lunga $d_2$ e una stecca lunga $d_3$?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Rispondi