Sommatoria da Cese 2019

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Maionsss
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Sommatoria da Cese 2019

Messaggio da Maionsss » 01 ago 2020, 12:15

Determinare le ultime quattro cifre della seguente somma

$ \sum_{k=1}^{2019}(-1)^{k+1}{2019\choose k}(2019-k) 3^{2019-k}$

La soluzione dovrebbe essere
Testo nascosto:
$5665$

Parmenide
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Re: Sommatoria da Cese 2019

Messaggio da Parmenide » 02 ago 2020, 00:54

$\sum_{k=1}^{2019}(-1)^{k+1}\binom{2019}{k}(2019-k)3^{2019-k}=-3\cdot 2019\cdot \sum_{k=1}^{2018}\binom{2018}{k}\cdot 3^{2018-k}(-1)^k=-3\cdot 2019\cdot ((3-1)^{2018}-3^{2018})=3\cdot 2019\cdot (3^{2018}-2^{2018})\equiv 3\cdot 2019\cdot (489-2144)\equiv 5665$ mod $10^4$

(infatti per CRT si ha $3^{2018}\equiv 3^{18}\equiv 489$ mod $10^4$ e $2^{2018}\equiv 2^{18}\equiv 2144$ mod $10^4$)

Maionsss
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Re: Sommatoria da Cese 2019

Messaggio da Maionsss » 03 ago 2020, 17:08

Perfetto grazie della conferma :D

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