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Considerare l’equazione $ x^2+(m-1)x-(m+3) = 0 $, dove $ m $ è un parametro reale.
Dopo aver riconosciuto che essa ha radici reali per ogni valore di $ m $, trovare l’espressione della somma dei quadrati delle radici e dire per quale valore di $ m $ essa è minima.


Il problema è facile, si lasci ai meno esperti la possibilità di scrivere la soluzione!

il discriminante dell'equazione vale

$ (m-1)^2 + 4(m+3) $

ovvero

$ m^2 + 2m + 13 $

che è maggiore di zero $ \forall \ m $

quindi le soluzioni sono sempre reali.

I quadrati delle due radici sono

$ \displaystyle \frac{ {(\sqrt{m^2 + 2m + 13} - (m-1))}^2 } { 4 } $

e

$ \displaystyle \frac{ {(\sqrt{m^2 + 2m + 13} + (m-1))}^2 } { 4 } $

svolgendo i conti (e semplificando i doppi prodotti con radice) si ottiene

$ \displaystyle \frac{(2m^2 + 4m + 26) + (2m^2 - 4m + 2)}{4} $

quindi la somma dei quadrati delle radici vale

$ m^2 + 7 $

che ovviamente è minima per

$ m=0 $

Haile ha scritto: $ m^2 + 2m + 13 $

che è maggiore di zero $ \forall \ m $

Sì, sarò pignolo, ma non hai giustificato questa affermazione...

basta riscriverlo come (m+1)^2+12...

Poi un consiglio riguardo alla seconda parte. Invece di fare tutti quei brutti conti considera che in una equazione di secondo grado $ $x^2+bx+c=0 $, $ $b=-s$ $ e $ $c=p$ $, dove $ $s$ $ è la somma e $ $p$ $ il prodotto delle soluzioni. Allora chiamando $ $x_1,x_2$ $ le soluzioni, hai che $ $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ $, quindi...

Ciao

fede90 ha scritto:

Haile ha scritto: $ m^2 + 2m + 13 $

che è maggiore di zero $ \forall \ m $

Sì, sarò pignolo, ma non hai giustificato questa affermazione...

basta riscriverlo come (m+1)^2+12...

Poi un consiglio riguardo alla seconda parte. Invece di fare tutti quei brutti conti considera che in una equazione di secondo grado $ $x^2+bx+c=0 $, $ $b=-s$ $ e $ $c=p$ $, dove $ $s$ $ è la somma e $ $p$ $ il prodotto delle soluzioni. Allora chiamando $ $x_1,x_2$ $ le soluzioni, hai che $ $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ $, quindi...

Ciao

1) mmm già. Oppure vedere che il delta è minore di zero e quindi il segno è sempre concorde a quello della x al quadrato

2) In effetti ho postato un po' in fretta e stavo appunto pensando a somma/prodotto soluzioni

mmmh, ok... bravo fede90 che è stato più elegante, bravo a Haile che è riuscito a non sbagliare i contazzi!...

Haile ha scritto:...

$ m^2 + 2m + 13 $

che è maggiore di zero $ \forall \ m $

quindi le soluzioni sono sempre reali.

...

Oppure considerala una disequazione di secondo grado

$ m^2 + 2m + 13 >= 0 $
Ovviamente vera per ogni m

Il fatto è che così dicendo non hai aggiunto molto alla vaghezza iniziale di Haile!... In fondo come la risolvi la disequazione? O guardi il delta (come ha poi aggiunto Haile stesso), o ti accorgi del quadrato (come ha fatto fede90)...

Ciao!