Siano x e y due reali positivi.
Dimostrare che $ x^y+y^x>1 $
Buona fortuna...
simpatica disuguaglianza di origini incerte...
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exodd
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- Località: sulle pendici della provincia più alta d'europa
osservo solo che se x o y sono maggiori di uno, la diseguaglianza vale sempre perchè non esiste radice di un numero magiore o uguale a 1 tale che il risultato sia minore di 1
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Si è vero ma penso che il difficile sia proprio dimostrare questa disuguaglianza per $ $0 < x,y < 1$ $exodd ha scritto:osservo solo che se x o y sono maggiori di uno, la diseguaglianza vale sempre perchè non esiste radice di un numero magiore o uguale a 1 tale che il risultato sia minore di 1
!"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Giustojordan ha scritto:Già che ci sei potevi anche metterci $ 0<x<y<1 $, tanto il minimo di $ x^x $ credo lo conoscano tutti..
! Anche perchè la disuguaglianza è omogenea, o sbaglio 
?"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
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exodd
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....jordan ha scritto:tanto il minimo di $ x^x $ credo lo conoscano tutti..
quant'è?????
ho provato a ricavarmelo, ma non è derivabile e non abbiamo dati numerici per le disuguaglianze...
facendo il gravico noto che si avvicina stranamente a sen 45°...
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
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julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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No Algebert, non è omogenea...
Comunque per chi volesse lascio un hint:
Visto che sembra comodo usare Bernoulli, come si può passare da cose reali a cose intere? Se x<1 c'è n tale che 1/n>x>=1/(n+1) e lo stesso vale per y....
(selezionare il testo per visualizzarlo)
Buona fortuna...
Comunque per chi volesse lascio un hint:
Visto che sembra comodo usare Bernoulli, come si può passare da cose reali a cose intere? Se x<1 c'è n tale che 1/n>x>=1/(n+1) e lo stesso vale per y....
(selezionare il testo per visualizzarlo)
Buona fortuna...
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Giusto lo noto solo adessopiever ha scritto:No Algebert, non è omogenea...
. Altrimenti si semplificava troppo .Comunque anche con quell'hint non riesco ad andare avanti
..."[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Bon, è passato abbastanza tempo:
L'unico caso difficile è x,y<1
sia n un intero positivo tale che $ \frac{1}{n}>x\ge\frac{1}{n+1} $ e m un intero positivo tale che $ \frac{1}{m}>y\ge\frac{1}{m+1} $
Ora chiaramente $ x^y+y^x>\sqrt[m]{\frac{1}{n+1}}+\sqrt[n]{\frac{1}{m+1}} $
Per Bernoulli abbiamo che $ (1+\frac{n}{m})^m\ge 1+n $, da cui $ 1+\frac{n}{m}\ge\sqrt[m]{1+n} $, da cui $ \sqrt[m]{\frac{1}{n+1}}+\sqrt[n]{\frac{1}{m+1}}\ge \frac{1}{1+\frac{n}{m}}+\frac{1}{1+\frac{m}{n}}=1 $
L'unico caso difficile è x,y<1
sia n un intero positivo tale che $ \frac{1}{n}>x\ge\frac{1}{n+1} $ e m un intero positivo tale che $ \frac{1}{m}>y\ge\frac{1}{m+1} $
Ora chiaramente $ x^y+y^x>\sqrt[m]{\frac{1}{n+1}}+\sqrt[n]{\frac{1}{m+1}} $
Per Bernoulli abbiamo che $ (1+\frac{n}{m})^m\ge 1+n $, da cui $ 1+\frac{n}{m}\ge\sqrt[m]{1+n} $, da cui $ \sqrt[m]{\frac{1}{n+1}}+\sqrt[n]{\frac{1}{m+1}}\ge \frac{1}{1+\frac{n}{m}}+\frac{1}{1+\frac{m}{n}}=1 $
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