Disuguaglianza ungherese
Disuguaglianza ungherese
Sia $ f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+1 $ un polinomio a coefficienti reali non negativi con $ n $ radici reali. Si dimostri che $ f(x)\geq (1+x)^n $, $ \forall x\geq 0 $.
$ \displaystyle~f(x) $ non può avere radici $ \displaystyle~x_i\ge0 $, perché in tal caso sarebbe $ \displaystyle~f(x_i)\ge1 $.
Poniamo dunque $ \displaystyle~y_i=-x_i,~\forall~1\ge i\ge n $
Ora sappiamo che $ \displaystyle f(x)=(x+y_1)(x+y_2)\cdots(x+y_n) $
Abbiamo $ \displaystyle~\frac{a_{n-i}}{\binom{n}{i}}=\frac{\frac{a_{n-i}}{a_n}}{\binom{n}{i}}=\frac{\displaystyle\sum_{1\le k_1<k_2<\dots<k_i\le n}y_{k_1}y_{k_2}\cdots y_{k_i}}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}}=1 $ per AM-GM, dato che il prodotto degli y è 1.
Quindi $ \displaystyle~f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+1\ge x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}+\dots+\binom{n}{n-1}+1= $$ \displaystyle\binom{n}{n}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}+\dots+\binom{n}{i}x^i+\dots+\binom{n}{1}x+\binom{n}{0}=(1+x)^n $
Poniamo dunque $ \displaystyle~y_i=-x_i,~\forall~1\ge i\ge n $
Ora sappiamo che $ \displaystyle f(x)=(x+y_1)(x+y_2)\cdots(x+y_n) $
Abbiamo $ \displaystyle~\frac{a_{n-i}}{\binom{n}{i}}=\frac{\frac{a_{n-i}}{a_n}}{\binom{n}{i}}=\frac{\displaystyle\sum_{1\le k_1<k_2<\dots<k_i\le n}y_{k_1}y_{k_2}\cdots y_{k_i}}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}}=1 $ per AM-GM, dato che il prodotto degli y è 1.
Quindi $ \displaystyle~f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+1\ge x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}+\dots+\binom{n}{n-1}+1= $$ \displaystyle\binom{n}{n}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}+\dots+\binom{n}{i}x^i+\dots+\binom{n}{1}x+\binom{n}{0}=(1+x)^n $
Ultima modifica di kn il 27 feb 2009, 11:49, modificato 2 volte in totale.
Mi è venuta un idea... Non so quanto sia matematicamente corretta però, attendo una risposta da uno di voi! Chiamo $ (1+x)^n=g(x) $ Si può dimostrare facilmente che la tesi è vera per x=0 in quanto si ha che 1 è uguale a 1.
Inoltre si può dimostrare, facendo il limite per x che tende all'infinito di $ \frac{f(x)}{g(x)} $ che le due funzioni crescono "alla stessa velocità". Infatti il risultato di tale limite è un numero, ed esattamente $ a_n $ (Non so scrivere i limiti con il Latex)
Allora è evidente che, essendo le funzioni definite in 0;+ infinito (non so fare nemmeno gli intervalli con il Latex) e la condizione è vera per x=0, e inoltre entrambe le funzioni crescono allo stesso modo, g(x) non può "rimontare" ed essere in qualche punto maggiore di f(x). Scusatemi per come mi esprimo!
Ditemi se la soluzione va bene o no... =)
Inoltre si può dimostrare, facendo il limite per x che tende all'infinito di $ \frac{f(x)}{g(x)} $ che le due funzioni crescono "alla stessa velocità". Infatti il risultato di tale limite è un numero, ed esattamente $ a_n $ (Non so scrivere i limiti con il Latex)
Allora è evidente che, essendo le funzioni definite in 0;+ infinito (non so fare nemmeno gli intervalli con il Latex) e la condizione è vera per x=0, e inoltre entrambe le funzioni crescono allo stesso modo, g(x) non può "rimontare" ed essere in qualche punto maggiore di f(x). Scusatemi per come mi esprimo!
Ditemi se la soluzione va bene o no... =)
anche $ ~x^3 $ e $ ~x^3+x $ sono uguali in 0 e sono asintotici per x che tende a infinito, ma puoi trovare intervalli in cui sono alternativamente uno e' maggiore dell'altro
OT
$ ~]-\infty;+\infty[ $
$ $\lim_{x\to \infty} $
altra marea di es qui viewtopic.php?t=3153
OT
$ ~]-\infty;+\infty[ $
$ $\lim_{x\to \infty} $
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Ultima modifica di SkZ il 26 feb 2009, 00:02, modificato 2 volte in totale.
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Aspè, devono essere definite per x maggiore di 0, e in quel caso non ci sono intervalli in cui le tue due funzioni si alternano, no?... Cioè dal testo si sa che x dev'essere maggiore o uguale a 0 ma allora $ x^3+x $ sarà sempre maggiore di $ x^3 $... Oppure sto prendendo un enorme granchio da sonno... In ogni caso ho ancora moltissimo da imparare. Dai vado a dormire... notte a tutti
Scusa volevo scrivere $ \displaystyle~\frac{\frac{a_i}{a_n}}{\binom{n}{i}}=\frac{\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}} $marcuz ha scritto:@kn: puoi aiutarmi a capire questo passaggio?
$ \displaystyle~\frac{a_i}{a_n}=\frac{\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}} $
È un'AM-GM... ogni y compare esattamente $ ~\binom{n-1}{i-1} $ volte (numero di combinazioni per gli altri i-1 y, scelti fra n-1)
Ultima modifica di kn il 26 feb 2009, 00:09, modificato 1 volta in totale.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
ok, mi era scappato quel punto (eppure avevo riletto piu' volte)
dato che e' un polinomio con radici tutte negative, per $ ~x>0 $ e' strettamente crescente e quindi mi pare si possa concludere
qui aiuta che le radici sono tutte reali e negative, quindi per x positivo si "comporta bene"
dato che e' un polinomio con radici tutte negative, per $ ~x>0 $ e' strettamente crescente e quindi mi pare si possa concludere
qui aiuta che le radici sono tutte reali e negative, quindi per x positivo si "comporta bene"
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Ma $ \displaystyle~\frac{a_i}{a_n}=\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i $ e $ \displaystyle~\frac{a_{n-i}}{a_n}=\sum_{cycl}y_1y_2\cdots y_i $ sono equivalenti? Scusa se sto dicendo cavolate ma sono alle prime armi...kn ha scritto:Scusa volevo scrivere $ \displaystyle~\frac{\frac{a_i}{a_n}}{\binom{n}{i}}=\frac{\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}} $marcuz ha scritto:@kn: puoi aiutarmi a capire questo passaggio?
$ \displaystyle~\frac{a_i}{a_n}=\frac{\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}} $
È un'AM-GM... ogni y compare esattamente $ ~\binom{n-1}{i-1} $ volte (numero di combinazioni per gli altri i-1 y, scelti fra n-1)
Nessun uomo è un'isola (J. Donne)
Sì, hai ragione, c'è un altro errore Quanto alle somme, non sono né simmetriche né cicliche, poiché hanno $ ~\binom{n}{n-i}=\binom{n}{i} $ termini (e non n! o n)
La sintassi (spero) giusta dovrebbe essere:
$ \displaystyle~\frac{a_{n-i}}{a_n}=\sum_{1\le k_1<k_2<\dots<k_i\le n}y_{k_1}y_{k_2}\cdots y_{k_i} $
La sintassi (spero) giusta dovrebbe essere:
$ \displaystyle~\frac{a_{n-i}}{a_n}=\sum_{1\le k_1<k_2<\dots<k_i\le n}y_{k_1}y_{k_2}\cdots y_{k_i} $