dette a,b e c (con a>b>c) le tre radici del polinomio x^3-10x^2-25x+125, con a>b>c, trovare il valore esatto di a^2*b+b^2*c+c^2*a...
grazie
gara del pubblico 2007
Dall'equazione risulta :
(0) $ \displaystyle a+b+c=10,ab+bc+ca=-25,abc=-125 $
da cui si deduce che $ \displaystyle a>b>0,c<0 $
Abbiamo inoltre l'identità:
(1) $ \displaystyle a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3(abc) $
Sostituendo in (1) [a con ab ] , ,[c con ca ] abbiamo:
(2) $ \displaystyle a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=(ab+bc+ca)^3-3(abc)(a+b+c)(ab+bc+ca)+3(abc)^2 $
Poniamo ora :
$ \displaystyle u=a^2b+b^2c+c^2a,v=a^2c+b^2a+c^2b $
Si verifica facilmente che :
$ \displaystyle u+v=(a+b+c)(ab+bc+ca)-3(abc) $
$ \displaystyle uv=a^4bc+ab^4c+abc^4+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+3a^2b^2c^2 $
ovvero:
$ \displaystyle uv=(abc)(a^3+b^3+c^3)+(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+3(abc)^2 $
In base alle (1),(2) si giunge alla formula:
$ \displaystyle uv=(abc)[(a+b+c)^3-6(a+b+c)(ab+bc+ca)+9(abc)]+(ab+bc+ca)^3 $
In virtù dei valori dati dalle (0) si ottiene il seguente sistema:
$ \displaystyle \begin{cases} u+v=125\\ uv=(-125) \cdot(1500)\\ \end{cases} $
che risolto dà le soluzioni:
$ \displaystyle (u=500,v=-375),(u=-375,v=500) $
Se ora poniamo $ \displaystyle f(x)=x^3-10x^2-25x+125 $ abbiamo:
$ \displaystyle f(-4)\cdot f(-3)<0,f(2)\cdot f(3)<0,f(11)\cdot f(12)<0 $
Ovvero:
$ \displaystyle -4<c<-3,2<b<3,11<a<12 $
Ciò fa ragionevolmente concludere che u sia maggiore di v ,ovvero
$ \displaystyle u=a^2b+b^2c+c^2a=500 $
(0) $ \displaystyle a+b+c=10,ab+bc+ca=-25,abc=-125 $
da cui si deduce che $ \displaystyle a>b>0,c<0 $
Abbiamo inoltre l'identità:
(1) $ \displaystyle a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3(abc) $
Sostituendo in (1) [a con ab ] , ,[c con ca ] abbiamo:
(2) $ \displaystyle a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=(ab+bc+ca)^3-3(abc)(a+b+c)(ab+bc+ca)+3(abc)^2 $
Poniamo ora :
$ \displaystyle u=a^2b+b^2c+c^2a,v=a^2c+b^2a+c^2b $
Si verifica facilmente che :
$ \displaystyle u+v=(a+b+c)(ab+bc+ca)-3(abc) $
$ \displaystyle uv=a^4bc+ab^4c+abc^4+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+3a^2b^2c^2 $
ovvero:
$ \displaystyle uv=(abc)(a^3+b^3+c^3)+(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+3(abc)^2 $
In base alle (1),(2) si giunge alla formula:
$ \displaystyle uv=(abc)[(a+b+c)^3-6(a+b+c)(ab+bc+ca)+9(abc)]+(ab+bc+ca)^3 $
In virtù dei valori dati dalle (0) si ottiene il seguente sistema:
$ \displaystyle \begin{cases} u+v=125\\ uv=(-125) \cdot(1500)\\ \end{cases} $
che risolto dà le soluzioni:
$ \displaystyle (u=500,v=-375),(u=-375,v=500) $
Se ora poniamo $ \displaystyle f(x)=x^3-10x^2-25x+125 $ abbiamo:
$ \displaystyle f(-4)\cdot f(-3)<0,f(2)\cdot f(3)<0,f(11)\cdot f(12)<0 $
Ovvero:
$ \displaystyle -4<c<-3,2<b<3,11<a<12 $
Ciò fa ragionevolmente concludere che u sia maggiore di v ,ovvero
$ \displaystyle u=a^2b+b^2c+c^2a=500 $
