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Sia $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $ fissato e siano $ (m,n) \in \mathbb{N}^2 $ tali che $ n>m>0 $. Si definisce $ f(x):=x^n+ax^m+b $.
a) Descrivere in modo semplice tutti i casi in cui $ f(x)=q^2(x) $ per qualche polinomio $ q(x) $.
b) Mostrare che se $ f(x)=q^3(x) $ per qualche polinomio $ q(x) $ allora $ a=b=0 $.

sappiamo che q(x) ha grado n/2, è monico ed ha il termine noto non nullo, supponiamo per assurdo che abbia due o più coefficienti (ovviamente diversi dal termine noto) non nulli. Allora q(x) è del tipo $ \displaystyle x^k+a_{j}x^j...+a_ix^i+a_0 $ con 2k=n, $ k>j>i $. Sviluppiamo il quadrato ed avremo un polinomio del tipo $ x^n+2a_jx^{k+j}+2a_ia_0x^i+a_0^2+r(x) $, dove r(x) è un polinomio di grado <k+j e che o è nullo o contiene monomi di grado maggiore di i, infatti questo segue dallo sviluppo di q(x)^2. Siamo arrivati pertanto ad un assurdo,perchè f(x) contine solo 2 monomi di grado maggiore di 0. Il caso in cui un solo coefficiente non è nullo si esclude in modo analogo, e quindi q(x) può solo essere del tipo $ x^k+a_0 $, il resto segue da ciò.
Per il secondo punto si può fare in modo analogo se il primo va bene, cosa di cui ancora non sono sicuro

Il ragionamento è giusto solo che non hai considerato il caso b=0. Ma tanto è facile escludere quel caso ;)

ops, in effetti mi sono dimenticato, chissà perchè nella mia testa b doveva per forza essere positivo . Comunque come dice dario anche quel caso si esclude facilmente per (mia) fortuna

qui lo dico e qui lo nego, ma c'è anche una soluzione non elementare (probabilmente meno "casosa" e meno contosa).

ma_go ha scritto:qui lo dico e qui lo nego, ma c'è anche una soluzione non elementare (probabilmente meno "casosa" e meno contosa).

Uhm, vista la mia innata incapacità di dividere sensatamente in casi, in gara ho fatto alcune considerazioni sulle derivate (cioè $ f'(x)=2p(x)p'(x) $ da cui $ p(x)|f'(x) $) e mi pare si concludesse abbastanza rapidamente, sfruttando il fatto che se $ b\neq 0 $ allora $ (p(x),x)=1 $. Per caso intendevi una cosa di questo tipo?

Tra l'altro, ci sono rimasto troppo male dopo il test quando ho scoperto che la soluzione del tipo "prendo un polinomio generico, lo elevo al quadrato, compaiono troppi termini" funzionava ed erano davvero due righe...

sì, intendevo esattamente qualcosa del genere.
lo stesso funziona per il cubo, però, perché l'osservazione è identica, i conti sono gli stessi, e l'mcd tra p e p' resta quello, ma d'altro canto sai quanto vale quell'mcd (circa). quindi mi pare più "uniforme" come soluzione, that's all.

@Maioc: piccola precisazione.. hai dimenticato anche il caso del trinomio (hai esaminato solo il caso di un polinomio con almeno 4 coefficienti non nulli)

kn ha scritto:@Maioc: piccola precisazione.. hai dimenticato anche il caso del trinomio (hai esaminato solo il caso di un polinomio con almeno 4 coefficienti non nulli)

Maioc92 ha scritto: Il caso in cui un solo coefficiente non è nullo si esclude in modo analogo

non mi sono dimenticato, è che l'ho omessa perchè alla fine l'idea è sempre quella e non volevo scrivere 10 volte la stessa cosa.
Alla fine il succo come diceva piever è:prendiamo un polinomio, lo eleviamo al quadrato (o al cubo) esaminiamo i 2 monomi di grado maggiore e quello di grado minore (questo perchè sono i più facilmente controllabili nello sviluppo), compaiono troppi termini.
Ciò non toglie comunque che nella prova sarei stato pignolo e avrei scritto tutto caso per caso per evitare di perdere punti